Bài 4 trang 92 sgk Toán 11: Bài 2. Dãy số...

Bài 4. Xét tính tăng, giảm của các dãy số (u_n) biết:  

a) (u_n= frac{1}{n}-2) ;                        b) (u_n= frac{n-1}{n+1});

c) ({u_n} = {( – 1)^n}({2^n} + 1))           d) (u_n= frac{2n+1}{5n+2}).

Hướng dẫn giải:

a) Xét hiệu (u_{n+1}-u_n= frac{1}{n+1} – 2 – ( frac{1}{n}) – 2) = ( frac{1}{n+1}) – ( frac{1}{n}).

Vì ( frac{1}{n+1}) < ( frac{1}{n}) nên (u_{n+1}-u_n) = ( frac{1}{n+1}) – ( frac{1}{n}< 0) với mọi (n in  {mathbb N}^*)  ^.

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

b) Xét hiệu (u_{n+1}-u_n= frac{n+1-1}{n+1+1}-frac{n-1}{n+1}=frac{n}{n+2}-frac{n-1}{n+1})

                                  = ( frac{n^{2}+n- n^{2}-n+2}{(n+1)(n+2)}=frac{2}{(n+1)(n+2)}>0)

Vậy (u_{n+1}> u_n) với mọi (n in  {mathbb N}^*)   hay dãy số đã cho là dãy số tăng.

c) Các số hạng ban đầu có thừa số ((-1)^n) nên dãy số không tăng và cũng không giảm.

Vì:

+) ((-1)^n>0) nếu (n) chẵn, do đó (u_n>0)

+) ((-1)^n<0) nếu (n) lẻ, do đó (u_n<0)

d) Làm tương tự như câu a) và b) hoặc lập tỉ số ( frac{u_{n+1}}{u_{n}}) (vì (u_n> 0)  với mọi (n in  {mathbb N}^*) ) rồi so sánh với (1).

Ta có ( frac{u_{n+1}}{u_{n}}) ( =frac{2n+3}{5n+7}.frac{5n+2}{2n+1}=frac{10n^{2}+19n+6}{10n^{2}+19n+7}<1) với mọi (n in  {mathbb N}^*)

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm dần.