Bài 5 trang 92 sgk Toán 11: Bài 2. Dãy số...

Bài 5. Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn?

a) (u_n= 2n^2-1);                     b) ( u_n=frac{1}{n(n+2)})

c) (u_n= frac{1}{2n^{2}-1});                        d) (u_n= sinn + cosn)
Hướng dẫn giải:
a) Dãy số bị chặn dưới vì (u_n= 2n^2-1≥ 1) với mọi (n in {mathbb N}^*)  và không bị chặn trên vì với số (M) dương lớn bất kì, ta có (2n^2-1 > M Leftrightarrow n > sqrt{frac{M+1}{2}}).
tức là luôn tồn tại ( n ≥   left [ sqrt{frac{M+1}{2}} ight ] + 1) để  (2 n^{2}- 1 > M)
b) Dễ thấy (u_n > 0) với mọi (n in {mathbb N}^*)  
Mặt khác, vì (n ≥ 1) nên (n^2≥ 1) và (2n ≥ 2).
Do đó (n(n + 2) =  n^2+ 2n ≥ 3), suy ra ( frac{1}{n(n+2)}) ( leq frac{1}{3}).
Vậy dãy số bị chặn (0 < u_n) (leq frac{1}{3}) với mọi  (n in {mathbb N}^*)  
c) Vì (n ≥ 1) nên (2n^2- 1 > 0), suy ra ( frac{1}{2n^{2}-1} > 0)
Mặt khác (n^2 ≥ 1) nên (2n^2≥ 2) hay (2n^2- 1≥ 1), suy ra ( u_{n}=frac{1}{2n^{2}-1} ≤ 1). 
Vậy (0 < u_n ≤ 1), với mọi (n in {mathbb N}^*), tức dãy số bị chặn.
d) Ta có: (sinn + cosn = sqrt 2sin(n +  frac{pi }{4})), với mọi (n). Do đó:
(-sqrt2 ≤ sinn + cosn ≤ sqrt2) với mọi (n in {mathbb N}^*)
Vậy (-sqrt 2  < u_n< sqrt 2), với mọi (n in {mathbb N}^*).