Bài 4 trang 83 sgk Toán 11: Bài 1. Phương pháp quy nạp Toán học...

Bài 4. Cho tổng ({S_n} = {1 over {1.2}} + {1 over {2.3}} + … + {1 over {n(n + 1)}}) với (nin {mathbb N}^*).

a) Tính ({S_1},{S_2},{S_3})

b) Dự đoán công thức tính tổng (S_n) và chứng minh bằng quy nạp.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

(eqalign{
& {S_1} = {1 over {1.2}} = {1 over 2} cr
& {S_2} = {1 over {1.2}} + {1 over {2.3}} = {2 over 3} cr
& {S_3} = {1 over {1.2}} + {1 over {2.3}} + {1 over {3.4}} = {3 over 4} cr} )

b) Từ câu a) ta dự đoán ({S_n} = {n over {n + 1}}(1)), với mọi (nin {mathbb N}^*)

Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp

Khi (n = 1), vế trái là ({S_1} = {1 over 2}) vế phải bằng ({1 over {1 + 1}} = {1 over 2}). Vậy đẳng thức (1) đúng.

Giả sử đẳng thức (1) đúng với (nge 1), tức là 

                ({S_k} = {1 over {1.2}} + {1 over {2.3}} + … + {1 over {k(k + 1)}} = {k over {k + 1}})

Ta phải chứng minh đẳng thức đúng với (n = k + 1), nghĩa là phải chứng minh

                  ({S_{k + 1}} = {{k + 1} over {k + 2}})

Ta có : ({S_{k + 1}} = {S_k} + {1 over {(k + 1)(k + 2)}} = {k over {k + 1}} + {1 over {(k + 1)(k + 2)}})

                     ( = {{{k^2} + 2k + 1} over {(k + 1)(k + 2)}} = {{k + 1} over {k + 2}})

tức là đẳng thức (1) đúng với (n = k + 1).

Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh.