Bài 4 trang 25 SGK Hình học 12
Giải bài 4 trang 25 SGK Hình học 12. Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. Chứng minh rằng: ...
Giải bài 4 trang 25 SGK Hình học 12. Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A’, B’, C’ khác với S. Chứng minh rằng:
Đề bài
Cho hình chóp (S.ABC). Trên các đoạn thẳng (SA, SB, SC) lần lượt lấy ba điểm (A’, B’, C’) khác với (S). Chứng minh rằng
({{{V_{S.A'B'C'}}} over {{V_{S.ABC}}}} = {{SA'} over {SA}} cdot {{SB'} over {SB}} cdot {{SC'} over {SC}})
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+) Gọi h và h' lần lượt là chiều cao hạ từ A và A' đến ((BCD)), dựa vào định lí Vi-et tính tỉ số (frac{h'}{{h}}).
+) Sử dụng công thức tính diện tích ({S_{Delta SB'C'}} = frac{1}{2}SB.SC.sin widehat {BSC}) tính diện tích tam giác (SB'C'), tương tự tính diện tích tam giác(SBC), sau đó suy ra tỉ số (frac{{{S_{Delta SB'C'}}}}{{{S_{Delta SBC}}}}).
+) Sử dụng công thức tính thể tích (V = frac{1}{3}S.h) lập tỉ số thể tích S.A'B'C' và S.ABC, rút gọn và suy ra kết quả.
Lời giải chi tiết
Gọi (h) và (h’) lần lượt là chiều cao hạ từ (A, A’) đến mặt phẳng ((SBC)).
Gọi (S_1) và (S_2) theo thứ tự là diện tích các tam giác (SBC) và (SB’C’).
Khi đó ta có ({{h'} over h} = {{SA'} over {SA}})
và (frac{{{S_{SB'C'}}}}{{{S_{SBC}}}} = frac{{frac{1}{2}SB'.SC'.sin widehat {BSC}}}{{frac{1}{2}SB.SC.sin widehat {BSC}}} = frac{{SB'}}{{SB}}.frac{{SC'}}{{SC}}).
Suy ra ({{{V_{S.A'B'C'}}} over {{V_{S.ABC}}}} = {{{V_{A'.SB'C'}}} over {{V_{A.SBC}}}} = {{{1 over 3}h'{S_2}} over {{1 over 3}h{S_1}}} = {{SA'} over {SA}} cdot {{SB'} over {SB}} cdot {{SC'} over {SC}})
Đó là điều phải chứng minh.
Chú ý: Từ nay và sau chúng ta được sử dụng bài tập này như một kết quả và không cần chứng minh lại.
soanbailop6.com
