Bài 31 trang 60 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hình nón N có bán kính đáy bằng R,

Cho hình nón N có bán kính đáy bằng R, đường cao SO. Một mặt phẳng (P) cố định vuông góc với SO tại O’, cắt hình nón N theo đường tròn có bán kính R’. Mặt phẳng (Q) thay đổi, vuông góc với SO tại điểm O₁ (O₁ nằm giữa O và O’), cắt hình nón theo thiết diện là hình tròn có bán kính x.

Hãy tính x theo R và R’ nếu (Q) chia phần hình nón nằm giữa (P) và đáy hình nón thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Giải

Gọi V₁ là thể tích phần hình nón giữa đỉnh S và mp(P), V₂ là thể tích phần hình nón giữa mặt phẳng (P) và (Q), V₃ là thể tích phần hình nón giữa mặt phẳng (Q) và đáy hình nón đã cho. Khi ấy

(eqalign{  & {{{V_1}} over {{V_1} + {V_2}}} = {left( {{{R'} over x}} ight)^3};;;;;;;;;;;;;;;(1)  cr  & {{{V_1} + {V_2} + {V_3}} over {{V_1} + {V_2}}} = {left( {{R over x}} ight)^3};;;;;;;;(2) cr} )

Và ({V_3} = {V_2};;;;;;;;;;;;;;(3))

Từ (2), (3) suy ra

({{{V_1} + 2{V_2}} over {{V_1} + {V_2}}} = {left( {{R over x}} ight)^3};;;;;;;(4))

Từ (1), (4) ta có

({{2({V_1} + {V_2})} over {{V_1} + {V_2}}} = {{{R^3} + R{'^3}} over {{x^3}}} Leftrightarrow x = oot 3 of {{{{R^3} + R'{^ 3}} over 2}} )

Sachbaitap.com