Bài 3.9 trang 169 SBT Đại số và giải tích 11: Chứng minh rằng phương trình...

Chứng minh rằng phương trình

a) ({x^5} – 3x – 7 = 0) luôn có nghiệm ;

b) (cos 2x = sin x – 2) có ít nhất hai nghiệm trong khoảng (left( { – {pi  over 6};pi } ight)) ;

c) (sqrt {{x^3} + 6x + 1}  – 2 = 0) có nghiệm dương.

Giải:

a)     Xét (fleft( x ight) = {x^5} – 3x – 7) và hai số 0; 2.

b)     Xét (fleft( x ight) = cos 2x – 2sin x + 2) trên các khoảng (left( { – {pi  over 6};{pi  over 2}} ight){ m{ , }}left( {{pi  over 2};pi } ight))

c)      Ta có, 

(eqalign{
& sqrt {{x^3} + 6x + 1} – 2 = 0 cr
& Leftrightarrow {x^3} + 6x + 1 = 4 cr
& Leftrightarrow {x^3} + 6x – 3 = 0 cr} )

Hàm số (fleft( x ight) = {x^3} + 6x – 3) liên tục trên R nên liên tục trên đoạn [0; 1]              (1)

Ta có (fleft( 0 ight)fleft( 1 ight) =  – 3.4 < 0)            (2)

Từ (1) và (2) suy ra phương trình ({x^3} + 6x – 3 = 0) có ít nhất một nghiệmthuộc (0; 1)

Do đó, phương trình (sqrt {{x^3} + 6x + 1}  – 2 = 0) có ít nhất một nghiệm dương.