Bài 3.7 trang 102 sách bài tập – Hình học 12: Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của...

Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, AD, BC. Chứng minh rằng:

a) (overrightarrow {AB}  + overrightarrow {CD}  = overrightarrow {AD}  + overrightarrow {CB}  = 2overrightarrow {MN} )                         

b) (overrightarrow {AB}  – overrightarrow {CD}  = overrightarrow {AC}  – overrightarrow {BD}  = 2overrightarrow {PQ} )

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có  MPNQ là hình bình hành vì (overrightarrow {MP}  = overrightarrow {QN}  = {1 over 2}overrightarrow {CD} )  và (overrightarrow {MQ}  = overrightarrow {PN}  = {1 over 2}overrightarrow {AB} ).

Do đó  (overrightarrow {MN}  = overrightarrow {MQ}  + overrightarrow {MP}  = {{overrightarrow {AB} } over 2} + {{overrightarrow {CD} } over 2})  hay (2overrightarrow {MN}  = overrightarrow {AB}  + overrightarrow {CD} )        (1)

Mặt khác  (overrightarrow {AB}  = overrightarrow {AD}  + overrightarrow {DB} )

            (overrightarrow {CD}  = overrightarrow {CB}  + overrightarrow {BD} )     

Nên (overrightarrow {AB}  + overrightarrow {CD}  = overrightarrow {AD}  + overrightarrow {CB} )            (2)

Vì  (overrightarrow {DB}  =  – overrightarrow {BD} )

Từ (1) và (2) ta có: (overrightarrow {AB}  + overrightarrow {CD}  = overrightarrow {AD}  + overrightarrow {CB}  = 2overrightarrow {MN} )  là đẳng thức cần chứng minh.

b) Ta có: (overrightarrow {PQ}  = overrightarrow {MQ}  – overrightarrow {MP}  = {{overrightarrow {AB} } over 2} – {{overrightarrow {CD} } over 2})

Do đó: (2overrightarrow {PQ}  = overrightarrow {AB}  – overrightarrow {CD} )         (3)

Mặt khác:  (overrightarrow {AB}  = overrightarrow {AC}  + overrightarrow {CB} )

                (overrightarrow {CD}  = overrightarrow {BD}  – overrightarrow {BC} )  

Nên (overrightarrow {AB}  – overrightarrow {CD}  = overrightarrow {AC}  – overrightarrow {BD} )             (4)

Vì (overrightarrow {CB}  – ( – overrightarrow {BC} ) = overrightarrow 0 )

Từ (3) và (4) ta suy ra (overrightarrow {AB}  – overrightarrow {CD}  = overrightarrow {AC}  – overrightarrow {BD}  = 2overrightarrow {PQ} )  là đẳng thức cần chứng minh.