Bài 2.23 trang 64 sách bài tập (SBT) – Hình học 12: Cho hình cầu đường kính AA’ = 2r. Gọi H là một điểm trên đoạn AA’...

Cho hình cầu đường kính AA’ = 2r. Gọi H là một điểm trên đoạn AA’ sao cho (AH = {{4r} over 3}) . Mặt phẳng ((alpha )) qua H và vuông góc với AA’ cắt hình cầu theo đường tròn (C).

a) Tính diện tích của hình tròn (C) .

b) Gọi BCD là tam giác đều nội tiếp trong (C), hãy tính thể tích hình chóp A.BCD và hình chóp A’.BCD.

Hướng dẫn làm bài:

Hình 2.45

a) Theo giả thiết ta có (AH = {{4r} over 3})

Ta suy ra (OH = {r over 3}) . Gọi r’ là bán kính của đường tròn (C).

Ta có: (r{‘^2} = {r^2} – O{H^2} = {r^2} – {{{r^2}} over 9} = {{8{r^2}} over 9})

Vậy diện tích của hình tròn (C) là: (S = pi r{‘^2} = {{8pi {r^2}} over 9})

b) Vì BCD là tam giác đều nên ta có: (BC = r’.sqrt 3  = {{2sqrt 6 } over 3}r)     

Diện tích của tam giác đều BCD là (S = {{B{C^2}sqrt 3 } over 4} = {{24{r^2}} over 9}.{{sqrt 3 } over 4} = {{2{r^2}sqrt 3 } over 3})

Thể tích hình chóp  A.BCD là  : (V = {1 over 3}{{2{r^2}sqrt 3 } over 3}.{{4r} over 3} = {{8sqrt 3 {r^3}} over {27}})

Hai hình chóp A.BCD và A’.BCD có chung mặt đáy BCD nên:({{{V_{A’.BCD}}} over {{V_{A.BCD}}}} = {{HA’} over {HA}} = {1 over 2}). Do đó,  ({V_{A’.BCD}} = {{4sqrt 3 {r^3}} over {27}}).