Bài 3.6 trang 132 Sách bài tập (SBT) Hình học 11

Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành

Trên mặt phẳng (left( alpha   ight)) cho hình bình hành ({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}). Về một phía đối với mặt phẳng (left( alpha   ight)) ta dựng hình bình hành ({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}). Trên các đoạn ({A_1}{A_2},{B_1}{B_2},{C_1}{C_2},{D_1}{D_2}) ta lần lượt lấy các điểm A, B, C, D sao cho

({{A{A_1}} over {A{A_2}}} = {{B{B_1}} over {B{B_2}}} = {{C{C_1}} over {C{C_2}}} = {{D{D_1}} over {D{D_2}}} = 3) 

Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành

Giải:

Lấy điểm O cố định rồi đặt (overrightarrow {O{A_1}}  = overrightarrow {{a_1}} ,,,overrightarrow {O{B_1}}  = overrightarrow {{b_1}} ,,,overrightarrow {O{C_1}}  = overrightarrow {{c_1}} ,,,overrightarrow {O{D_1}}  = overrightarrow {{d_1}} ). Điều kiện cần và đủ để tứ giác ({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}) là hình bình hành là (overrightarrow {{a_1}}  + overrightarrow {{c_1}}  = overrightarrow {{b_1}}  + overrightarrow {{d_1}} ) ( theo bài tập 3.2)   (1)

Đặt (overrightarrow {O{A_2}}  = overrightarrow {{a_2}} ,overrightarrow {O{B_2}}  = overrightarrow {{b_2}} ,overrightarrow {O{C_2}}  = overrightarrow {{c_2}} ,overrightarrow {O{D_2}}  = overrightarrow {{d_2}} ). Điều kiện cần và đủ để tứ giác ({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}) là hình bình hành là (overrightarrow {{a_2}}  + overrightarrow {{c_2}}  = overrightarrow {{b_2}}  + overrightarrow {{d_2}} )     (2)

Đặt (overrightarrow {OA}  = overrightarrow a ,,,overrightarrow {OB}  = overrightarrow b ,,,overrightarrow {OC}  = overrightarrow c ,,,overrightarrow {OD}  = overrightarrow d ).

Ta có ({{A{A_1}} over {A{A_2}}} = 3 Rightarrow overrightarrow {A{A_1}}  =  - 3overrightarrow {A{A_2}} )

(eqalign{
& Leftrightarrow overrightarrow {O{A_1}} - overrightarrow {OA} = 3left( {overrightarrow {O{A_2}} - overrightarrow {OA} } ight) cr
& Leftrightarrow overrightarrow {{a_1}} - overrightarrow a = - 3left( {overrightarrow {{a_2}} - overrightarrow a } ight) cr
& Leftrightarrow overrightarrow a = {1 over 4}left( {overrightarrow {{a_1}} + 3overrightarrow {{a_2}} } ight) cr} )

Tương tự: (overrightarrow b  = {1 over 4}left( {overrightarrow {{b_1}}  + 3overrightarrow {{b_2}} } ight)),

(overrightarrow c  = {1 over 4}left( {overrightarrow {{c_1}}  + 3overrightarrow {{c_2}} } ight),overrightarrow {,,d}  = {1 over 4}left( {overrightarrow {{d_1}}  + 3overrightarrow {{d_2}} } ight)).

Ta có: (overrightarrow a  + overrightarrow c  = {1 over 4}left( {overrightarrow {{a_1}}  + 3overrightarrow {{a_2}} } ight) + {1 over 4}left( {overrightarrow {{c_1}}  + 3overrightarrow {{c_2}} } ight))

(= {1 over 4}left( {overrightarrow {{a_1}}  + overrightarrow {{c_1}} } ight) + {3 over 4}left( {overrightarrow {{a_2}}  + overrightarrow {{c_2}} } ight))

Và:

(eqalign{
& overrightarrow b + overrightarrow d = {1 over 4}left( {overrightarrow {{b_1}} + 3overrightarrow {{b_2}} } ight) + {1 over 4}left( {overrightarrow {{d_1}} + 3overrightarrow {{d_2}} } ight) cr
& = {1 over 4}left( {overrightarrow {{b_1}} + overrightarrow {{d_1}} } ight) + {3 over 4}left( {overrightarrow {{b_2}} + overrightarrow {{d_2}} } ight) cr})

Từ (1) và (2) ta có (overrightarrow {{a_1}}  + overrightarrow {{c_1}}  = overrightarrow {{b_1}}  + overrightarrow {{d_1}} ) và (overrightarrow {{a_2}}  + overrightarrow {{c_2}}  = overrightarrow {{b_2}}  + overrightarrow {{d_2}} ) nên suy ra :

(overrightarrow a  + overrightarrow b  + overrightarrow c  + overrightarrow d  Leftrightarrow overrightarrow {OA}  + overrightarrow {OC}  = overrightarrow {OB}  + overrightarrow {O{ m{D}}} )

⟺ tứ giác ABCD là hình bình hành.

Sachbaitap.com