Bài 1.7 trang 154 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11: Cho hai dãy số (un) và (vn)....

Cho hai dãy số (u_n) và (v_n). Chứng minh rằng nếu (lim {v_n} = 0) và (left| {{u_n}} ight| le {v_n}) với mọi n thì (lim {u_n} = 0)

Giải :

(lim {v_n} = 0 Rightarrow left| {{v_n}} ight|) có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi  (1)

Vì (left| {{u_n}} ight| le {v_n}) và ({v_n} le left| {{v_n}} ight|) với mọi n, nên (left| {{u_n}} ight| le left| {{v_n}} ight|) với mọi n.      (2)

Từ (1) và (2) suy ra (left| {{u_n}} ight|) cũng có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, nghĩa là (lim {u_n} = 0)