Bài 3.11 trang 170 SBT Đại số và giải tích 11: Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi...

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m :

a) (left( {1 – {m^2}} ight){left( {x + 1} ight)^3} + {x^2} – x – 3 = 0) ;

b) (mleft( {2cos x – sqrt 2 } ight) = 2sin 5x + 1)    

Giải:

a) (left( {1 – {m^2}} ight){left( {x + 1} ight)^3} + {x^2} – x – 3 = 0)    

(fleft( x ight) = left( {1 – {m^2}} ight){left( {x + 1} ight)^3} + {x^2} – x – 3) là hàm đa thức liên tục trên R. Do đó nó liên tục trên [-2; -1]

Ta có (fleft( { – 1} ight) =  – 1 < 0) và (fleft( { – 2} ight) = {m^2} + 2 > 0) nên (fleft( { – 1} ight)fleft( { – 2} ight) < 0) với mọi m.

Do đó, phương trình (fleft( x ight) = 0) luôn có ít nhất một nghiệm trong khoảng (-2; -1) với mọi m. Nghĩa là, phương trình (left( {1 – {m^2}} ight){left( {x + 1} ight)^3} + {x^2} – x – 3 = 0) luôn có nghiệm với mọi m.

b) (mleft( {2cos x – sqrt 2 } ight) = 2sin 5x + 1)    

HD : Xét hàm số (fleft( x ight) = mleft( {2cos x – sqrt 2 } ight) – 2sin 5x – 1) trên đoạn (left[ { – {pi  over 4};{pi  over 4}} ight])