Bài 19 trang 8 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hai hình tứ diện ABCD

Cho hai hình tứ diện ABCD và A’B’C’D’ có các cạnh tương ứng song song: (AB//A'B',AC//A'C',AD//A'D',)

(CB//C'B',BD//B'D',DC//D'C'.)

Chứng minh rằng hai tứ diện nói trên đồng dạng.

Giải

Vì (AB//A'B') nên có số (k e 0) sao cho (overrightarrow {AB}  = koverrightarrow {A'B'} ). Ta chứng minh rằng khi đó, ta cũng có (overrightarrow {AC}  = koverrightarrow {A'C'} ,overrightarrow {AD}  = koverrightarrow {A'D'} ,overrightarrow {CB}  = koverrightarrow {C'B'} ,)

(BD = koverrightarrow {B'D'} ,overrightarrow {DC}  = koverrightarrow {D'C'} .)

Thật vậy, hai tam giác ABC và A’B’C’ có các cạnh tương ứng song song nên ta phải có các số l và m sao cho (overrightarrow {AC}  = loverrightarrow {A'C'} ) và (overrightarrow {CB}  = moverrightarrow {C'B'} ). Khi đó :

(eqalign{  & overrightarrow {AB}  = koverrightarrow {A'B'}  Leftrightarrow overrightarrow {AC}  - overrightarrow {BC}  = kleft( {overrightarrow {A'C'}  - overrightarrow {B'C'} } ight)  cr  &  Leftrightarrow loverrightarrow {A'C'}  - moverrightarrow {B'C'}  = koverrightarrow {A'C'}  - koverrightarrow {B'C'}   cr  &  Leftrightarrow left( {l - k} ight)overrightarrow {A'C'}  = left( {m - k} ight)overrightarrow {B'C'} . cr} )

Vì hai vectơ (overrightarrow {A'C'} ) và (overrightarrow {B'C'} ) không cùng phương nên đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi (l - k = m - k = 0), tức là l=m=k, vậy (overrightarrow {AC}  = koverrightarrow {A'C'} ) và (overrightarrow {BC}  = koverrightarrow {B'C'} ).

Các đẳng thức còn lại được chứng minh tương tự.

Xét trường hợp (k = 1). Khi đó (overrightarrow {AB}  = overrightarrow {A'B'} ,overrightarrow {BC}  = overrightarrow {B'C'} ,...)nên

(overrightarrow {AA'}  = overrightarrow {BB'}  = overrightarrow {CC'}  = ...)

Suy ra phép tịnh tiến theo vectơ (overrightarrow v  = overrightarrow {AA'} ) biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’.

Nếu (k e 1) thì hai đường thẳng AA’ và BB’ cắt nhau tại một điểm O nào đó.

Khi đó, rõ ràng phép vị tự V tâm O tỉ số ({1 over k}) biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’.

Vậy trong cả hai trường hợp nói trên, hai tứ diện ABCD và A’B’C’D’ đồng dạng.

Sachbaitap.com