Bài 73 trang 62 SGK giải tích 12 nâng cao, Cho hàm số a) Tìm điều kiện đối với p và q để hàm số f có một cực đại và một cực tiểu. b)...

Bài 73. Cho hàm số (fleft( x ight) = {x^3} + px + q)

a) Tìm điều kiện đối với p và q để hàm số f có một cực đại và một cực tiểu.

b) Chứng minh rằng nếu giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phương trình: ({x^3} + px + q = 0,,left( 1 ight)) có ba nghiệm phân biệt.

c) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là: (4{p^3} + 27{q^2} < 0)

Giải

a) Ta có (f’left( x ight) = 3{x^2} + p)

(f’left( x ight) = 0 Leftrightarrow 3{x^2} + p = 0,,left( 1 ight))

Hàm số f có một cực đại và một cực tiểu khi và chỉ khi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ( Leftrightarrow p < 0)

Khi đó hai nghiệm của (1) là: (x =  – sqrt { – {p over 3}} ;,,,x = sqrt { – {p over 3}} )

Bảng biến thiên: 

Với (M = {left( { – sqrt { – {p over 3}} } ight)^3} – psqrt { – {p over 3}}  +q= q – {2 over 3}psqrt { – {p over 3}} )

(m = {left( {sqrt { – {p over 3}} } ight)^3} + psqrt { – {p over 3}}  + q = q + {2 over 3}psqrt { – {p over 3}} )

b) Nếu Mm<0 và m < 0, khi đó, phương trình f(x) = 0 có ba nghiệm (alpha ,,eta ,,gamma ) với (alpha  <  – sqrt { – {p over 3}} ; – ,sqrt { – {p over 3}}  < eta  < sqrt { – {p over 3}} ,, ext{và},,gamma  > sqrt { – {p over 3}} )

c) Nếu Mm > 0 thì hai số M và m cùng dấu.

Nếu M < 0 và m < 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất (Lớn hơn (sqrt { – {p over 3}} ))

Nếu M > 0 và m > 0 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất ( Nhỏ hơn (sqrt { – {p over 3}} ))

Vậy điều kiện cần và đủ để phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt là: 

(left{ matrix{
p < 0 hfill cr
Mm = {q^2} – {4 over 9}{p^2}left( { – {p over 3}} ight) < 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow 4{p^3} + 27{q^2} < 0)