Bài 2.6 trang 112 Sách bài tập Đại số và giải tích 11: Các dãy số (un), (vn) được xác định bằng công thức...

Các dãy số (u_n), (v_n)được xác định bằng công thức 

a) (left{ matrix{
{u_1} = 1 hfill cr 
{u_{n + 1}} = {u_n} + {n^3}{ m{ voi }}n ge 1; hfill cr} ight.)    

b) (left{ matrix{
{v_1} = 2 hfill cr 
{v_{n + 1}} = v_n^2{ m{ }}voi{ m{ }}n ge 1 hfill cr} ight.)    

Tìm công thức tính (u_n), (v_n) theo n. Tính số hạng thứ 100 của dãy số (u_n). Hỏi số 4294967296 là số hạng thứ mấy của dãy số (v_n)

Giải:

a)      Từ ({u_{n + 1}} – {u_n} = {n^3}) ta có

(eqalign{
& {u_1} = 1; cr
& {u_2} – {u_1} = {1^3}; cr
& {u_3} – {u_2} = {2^3}; cr
& … cr
& {u_{n – 1}} – {u_{n – 2}} = {left( {n – 2} ight)^3}; cr
& {u_n} – {u_{n – 1}} = {left( {n – 1} ight)^3}. cr} ) 

Cộng từng vế n đẳng thức trên và rút gọn, ta được

({u_n} = 1 + {1^3} + {2^3} + … + {left( {n – 1} ight)^3})                    

Sử dụng kết quả bài tập 12 b) – ta có

({1^3} + {2^3} + … + {left( {n – 1} ight)^3} = {{{{left( {n – 1} ight)}^2}{n^2}} over 4})           

Vậy

(eqalign{
& {u_n} = 1 + {{{n^2}{{left( {n – 1} ight)}^2}} over 4}. cr
& {u_{100}} = 24502501. cr} )

b)      Hãy viết một vài số hạng đầu của dãy và quan sát

(eqalign{
& {v_1} = 2; cr
& {v_2} = v_1^2 = {2^2}; cr
& {v_3} = v_2^2 = {2^4} = {2^{{2^2}}}; cr
& {v_4} = v_3^2 = {2^8} = {2^{{2^3}}} cr} )

Từ đây dự đoán ({v_n} = {2^{{2^{n – 1}}}})

Công thức trên dễ dàng chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Số 4294967296 là số hạng thứ sáu của dãy số (v_n)