Bài 2.55 trang 104 Sách bài tập Toán Hình học 10: Cho hình bình hành ABCD có...

Cho hình bình hành ABCD có AB = 3a, AD = 5a, góc BAD bằng ({120^0})

a) Tìm các tích vô hướng sau: (overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD,} overrightarrow {AC} .overrightarrow {BD} )

b) Tính độ dài BD và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gợi ý làm bài

a) 

(eqalign{
& overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD} = AB.AD.coswidehat {DAB} cr
& = 3a.5a.cos {120^0} = – {{15{a^2}} over 2} cr} )

(eqalign{
& overrightarrow {AC} .overrightarrow {BD} = (overrightarrow {AD} + overrightarrow {AB} )(overrightarrow {AD} – overrightarrow {AB} ) cr
& = A{D^2} – A{B^2} = 16{a^2} cr} )

b) 

(eqalign{
& {overrightarrow {BD} ^2} = {(overrightarrow {AD} – overrightarrow {AB} )^2} = A{D^2} + A{B^2} – 2overrightarrow {AD} .overrightarrow {AB} cr
& = 49{a^2} = > BD = 7a cr} )

ABCD là hình bình hành nên: BC = AD = 5a;

(widehat {BAD} + widehat {ABC} = {180^0} =  > widehat {ABC} = {60^0})

Áp dụng định lí hàm số cô sin trong tam giác ABC, ta được:

(eqalign{
& A{C^2} = B{C^2} + A{B^2} – 2BC.AB.cos widehat {ABC} cr
& = 19{a^2} = > AC = asqrt {19} cr} )

Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác ABC, ta được:

(R = {{AC} over {2sin widehat {ABC}}} = {{asqrt {19} } over {2sin {{60}^0}}} = a{{sqrt {57} } over 3})