Bài 3.7 trang 118 SBT Đại số và giải tích 11: Cho cấp số cộng chứng minh rằng...

Cho cấp số cộng (left( {{u_n}} ight)) chứng minh rằng

Nếu ({{{S_m}} over {{S_n}}} = {{{m^2}} over {{n^2}}})

Thì ({{{u_m}} over {{u_n}}} = {{2m – 1} over {2n – 1}})                             

Giải:

Ta có ({S_m} = {{2{u_1} + left( {m – 1} ight)d} over 2}m) ;

({S_n} = {{2{u_1} + left( {n – 1} ight)d} over 2}n.)           

Theo giả thiết

({{{S_m}} over {{S_n}}} = {{left[ {2{u_1} + left( {m – 1} ight)d} ight]m} over {left[ {2{u_1} + left( {n – 1} ight)d} ight]n}} = {{{m^2}} over {{n^2}}})         

Suy ra (left( {2{u_1} – d} ight)left( {m – n} ight) = 0) (với m ≠ n ).

Từ đó ({u_1} = {d over 2})

Vậy ({{{u_m}} over {{u_n}}} = {{{u_1} + left( {m – 1} ight)d} over {{u_1} + left( {n – 1} ight)d}} = {{{d over 2} + left( {m – 1} ight)d} over {{d over 2} + left( {n – 1} ight)d}} = {{2m – 1} over {2n – 1}})