Bài 2.21 trang 64 sách bài tập (SBT) – Hình học 12: Hình chóp S.ABCD có SA = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD...

Hình chóp S.ABCD có SA = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE

Hướng dẫn làm bài:

Tam giác CED là tam giác vuông cân tại E nên trục của đường tròn đi qua ba điểm C, E, D là đường thẳng (Delta ) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng CD và song song với SA.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SE và SC. Ta có mặt phẳng (ABNM) là mặt phẳng trung trực của đoạn SE. Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE chính là giao điểm của (Delta ) và mp(ABNM). Gọi K là trung điểm của AB thì KN // AM và do đó KN //(SAE). Ta có IK // AD nên IK // (SAE).

Vậy KN và (Delta ) đồng phẳng và ta có O là giao điểm cần tìm.

Chú ý rằng OIK là tam giác vuông cân, vì  (widehat {OKI} = widehat {MAE} = {45^0})

Ta có  OI = IK, trong đó (IK = {{BC + AD} over 2} = {{a + 2a} over 2} = {{3a} over 2})

Vậy  (O{C^2} = O{I^2} + I{C^2} = {{9{a^2}} over 4} + {{2{a^2}} over 4})  (vì (CD = asqrt 2 ;IC = {{CD} over 2})). Do đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE là:  (r = OC = {{asqrt {11} } over 2}).