Bài 1.36 trang 23 sách bài tập (SBT) – Hình học 12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, M là trung điểm của BB’...

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, M  là trung điểm của BB’ Tính theo a :

a) Khoảng cách giữa AC và DC’.

b) Độ dài đoạn vuông góc chung giữa CM và AB’.

Hướng dẫn làm bài

a) 

Gọi  d(AC, DC’) = h

Ta có C’A’ // CA , do đó:

d(AC, DC’) = d(AC, (A’C’D)) = d(C, (A’C’D)) = h

Ta có:  ({V_{A’.CDC’}} = {1 over 3}{{{a^2}} over 2}a = {{{a^3}} over 6})

Để ý rằng tam giác A’C’D là tam giác đều cạnh bằng  (asqrt 2 ).

Do đó: ({S_{A’C’D}} = {{{a^2}sqrt 3 } over 2});

({V_{C.A’C’D}} = {1 over 3}{S_{A’C’D}}.h = {1 over 3}.{{{a^2}sqrt 3 } over 2}h = {V_{A’.CDC’}} = {{{a^3}} over 6})

Từ đó suy ra:  (h = {{{{{a^3}} over 6}} over {{{{a^2}sqrt 3 } over 6}}} = {a over {sqrt 3 }} = {{asqrt 3 } over 3})

b) 

Từ A kẻ đường thẳng song song với MC’ , cắt DD’ tại N và A’D’ kéo dài tại J.

Đặt  h₁ = d(MC’ , AB’) = d(M, (AB’N))

Ta có:  ({V_{M.AB’N}} = {V_{N.AB’M}} = {1 over 3}{{{a^2}} over 4}a = {{{a^3}} over {12}})

Để ý rằng  N là trung điểm của DD’ , A’J = 2A’D’  và JA = JB’

Gọi I là trung điểm của AB’, khi đó  (JI ot AB’).

Ta có:   ({ m{AJ}} = sqrt {{ m{AA}}{‘^2} + A'{J^2}}  = sqrt {{a^2} + 4{a^2}}  = asqrt 5 ;AI = {{asqrt 2 } over 2})

Suy ra:  ({ m{IJ}} = sqrt {5{a^2} – {{{a^2}} over 2}}  = {{3a} over {sqrt 2 }})  ;

            ({S_{JAB’}} = {1 over 2}{{3a} over {sqrt 2 }}asqrt 2  = {{3{a^2}} over 2})

Do đó:  ({S_{AB’N}} = {1 over 2}{S_{JAB’}} = {{3{a^2}} over 4}) ;

         ({V_{M.AB’N}} = {1 over 3}{{3{a^2}} over 4}{h_1} = {{{a^2}{h_1}} over 4} = {{{a^3}} over {12}})

Suy ra:  ({h_1} = {a over 3})

Chú ý: Có thể tính thể tích S_AB’N  bằng cách khác.

Để ý rằng:  (NB’ = sqrt {ND{‘^2} + B’D{‘^2}}  = sqrt {{{{a^2}} over 4} + 2{a^2}}  = {{3a} over 2},)

(AN = {{asqrt 5 } over 2},,,AB’ = asqrt 2 )

Gọi (alpha  = widehat {NAB’})  . Ta có: (NB{^2} = { m{ }}A{N^2} + { m{ }}AB{^2}-{ m{ }}2AN.AB.cosalpha )

Hay ({{9{a^2}} over 4} = {{5{a^2}} over 4} + 2{a^2} – 2{{asqrt 5 } over 2}asqrt 2 cos alpha)

( Rightarrow  cos alpha  = {1 over {sqrt {10} }} Rightarrow  sin alpha  = {3 over {sqrt {10} }})

Do đó: ({S_{AB’N}} = {1 over 2}AB’.AN.sin alpha  = {1 over 2}asqrt 2 {{asqrt 5 } over 2}{3 over {sqrt {10} }} = {{3{a^2}} over 4})