Bài 2.15 trang 63 sách bài tập (SBT) – Hình học 12: Xác định tâm O và bán kính r của mặt cầu đi qua 5 điểm A, A’ , M ,...

Cho hai đường thẳng chéo nhau (Delta ) và (Delta ‘) có AA’ là đoạn vuông góc chung, trong đó (A in Delta )   và (A’ in Delta ‘). Gọi ((alpha )) là mặt phẳng chứa AA’ và vuông góc với  (Delta ‘) và cho biết AA’ = a. Một đường thẳng thay đổi luôn luôn song song với mặt phẳng ((alpha ))  lần lượt cắt (Delta ) và (Delta ‘)  tại M và M’ . Hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng ((alpha ))  là M₁ .

a) Xác định tâm O và bán kính r của mặt cầu đi qua 5 điểm A, A’ , M , M’, M₁ . Tính diện tích của mặt cầu tâm O nói trên theo a, x = A’M’  và  góc(varphi  = (Delta ,Delta ‘))

b) Chứng minh rằng khi x thay đổi mặt cầu tâm O luôn luôn chứa một đường tròn cố định.

Hướng dẫn làm bài:

a) Theo giả thiết ta có:  (widehat {A’M’M} = widehat {A’AM} = widehat {A'{M_1}M} = {90^0})

Do đó 5 điểm A, A’, M, M’ ,M₁  cùng thuộc mặt cầu (S) tâm O, với O là trung điểm của A’M và có bán kính (r = {{A’M} over 2})

Mặt khác ta có A’M² = A’A² + AM² , trong đó  (cos varphi  = {{M{M_1}} over {AM}})  nên (AM = {{M{M_1}} over {cos varphi }} = {x over {cos varphi }})

Do đó  (A'{M^2} = {a^2} + {{{x^2}} over {{{cos }^2}varphi }})

(Rightarrow A’M = sqrt {{{{a^2}{{cos }^2}varphi  + {x^2}} over {{{cos }^2}varphi }}}  = {1 over {cos varphi }}sqrt {{a^2}{{cos }^2}varphi  + {x^2}} )

Mặt cầu tâm O có bán kính  (r = {{A’M} over 2} = {1 over {2cos varphi }}sqrt {{a^2}{{cos }^2}varphi  + {x^2}} )

Diện tích của mặt cầu tâm O là: (S = 4pi {r^2} = pi {(2r)^2} = pi {(A’M)^2} = pi ({a^2} + {{{x^2}} over {{{cos }^2}varphi }}))

b) Gọi I là trung điểm của đoạn AA’. Ta có IO // (Delta ) nên tâm O di động trên đường thẳng d cố định đi qua I và song song với (Delta ) . Mặt cầu tâm O đi qua hai điểm cố định A, A’ , có tâm di động trên đường trung trực d cố định của đoạn AA’. Vậy mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn cố định tâm I có đường kính AA’ nằm trong mặt phẳng AA’ và vuông góc với d.