Bài 2.15 trang 108 Sách bài tập Giải tích 12: Hãy tính log…...

a) Cho (a = {log _3}15,b = {log _3}10) . Hãy tính ({log _{sqrt 3 }}50) theo a và b.

b) Cho (a = {log _2}3,b = {log _3}5,c = {log _7}2) . Hãy tính ({log _{140}}63) theo a, b, c.

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có:

(a = {log _3}15 = {log _3}(3.5) = {log _3}3 + {log _3}5 = 1 + {log _3}5) 

Suy ra ({log _3}5 = a – 1)

(b = {log _3}10 = {log _3}(2.5) = {log _3}2 + {log _3}5)

Suy ra ({log _3}2 = b – {log _3}5 = b – (a – 1) = b – a + 1)

Do đó:

({log _{sqrt 3 }}50 = {log _{{3^{frac{1}{2}}}}}({2.5^2}) = 2{log _3}2 + 4{log _3}5 = 2(b – a + 1) + 4(a – 1) = 2a + 2b – 2)                

b) Ta có:

(egin{array}{l}
{log _{140}}63 = {log _{140}}({3^2}.7) = 2{log _{140}}3 + {log _{140}}7
= frac{2}{{{{log }_3}140}} + frac{1}{{{{log }_7}140}} = frac{2}{{{{log }_3}({2^2}.5.7)}} + frac{1}{{{{log }_7}({2^2}.5.7)}}
= frac{2}{{2{{log }_3}2 + {{log }_3}5 + {{log }_3}7}} + frac{1}{{2{{log }_7}2 + {{log }_7}5 + 1}}
end{array})                    

Từ đề bài suy ra:

(egin{array}{l}
{log _3}2 = frac{1}{{{{log }_2}3}} = frac{1}{a}
{log _{frac{1}{2}}}pi {log _7}5 = {log _7}2.{log _2}3.{log _3}5 = cab
{log _3}7 = frac{1}{{{{log }_7}3}} = frac{1}{{{{log }_7}2.{{log }_2}3}} = frac{1}{{ca}}
end{array})                 

Vậy ({log _{140}}63 = frac{2}{{frac{2}{a} + b + frac{1}{{ca}}}} + frac{1}{{2c + cab + 1}} = frac{{2ac + 1}}{{abc + 2c + 1}}).