Bài 15 trang 89 SGK Hình học 12 Nâng cao, Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng: a) Đi qua ba điểm ; b) Đi qua hai điểm và song...

Bài 15. Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:

a) Đi qua ba điểm (Mleft( {2;0; – 1} ight),,;,,Nleft( {1; – 2;3} ight),,;,,Pleft( {0;1;2} ight));

b) Đi qua hai điểm (Aleft( {1;1; – 1} ight),,;,,Bleft( {5;2;1} ight))và song song với trục Oz ;

c) Đi qua điểm (3; 2; -l) và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0;

d) Đi qua hai điểm A(0 ; 1 ; 1), B(- 1 ; 0 ; 2) và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ;

e) Đi qua điểm M(a ; b ; c) (với (abc e 0)) và song song với một mặt phẳng toạ độ ;

g) Đi qua điểm G(1 ; 2 ; 3) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;

h) Đi qua điểm H(2 ; 1 ; 1) và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.

Giải

a) Ta có: (overrightarrow {MN}  = left( { – 1; – 2;4} ight),,overrightarrow {MP}  = left( { – 2;1;3} ight)).

Suy ra (left[ {overrightarrow {MN} ,overrightarrow {MP} } ight] = left( { – 10; – 5; – 5} ight) =  – 5left( {2;1;1} ight)).

Chọn vectơ pháp tuyến của mp(MNP) là (overrightarrow n  = left( {2;1;1} ight)). Mp(MNP) đi qua (Mleft( {2;0; – 1} ight)) và có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n  = left( {2;1;1} ight)) nên có phương trình là:

(2left( {x – 2} ight) + 1left( {y – 0} ight) + 1left( {z + 1} ight) = 0 Leftrightarrow 2x + y + z – 3 = 0)

b) Mp(P) đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n ) vuông góc vói (overrightarrow {AB}  = left( {4;1;2} ight)) và vuông góc với (overrightarrow k  = left( {0;0;1} ight)) nên:

(overrightarrow n = left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow k } ight] = left( {left| matrix{
1,,,,,,2 hfill cr
0,,,,,1 hfill cr} ight|;left| matrix{
2,,,,,,4 hfill cr
1,,,,,,0 hfill cr} ight|;left| matrix{
4,,,,,,,1 hfill cr
0,,,,,,,0 hfill cr} ight|} ight) = left( {1; – 4;0} ight))

(P) qua (Aleft( {1;1; – 1} ight)) và có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n  = left( {1; – 4;0} ight)) nên (P) có phương trình:

(1left( {x – 1} ight) – 4left( {y – 1} ight) + 0left( {z + 1} ight) = 0 Leftrightarrow x – 4y + 3 = 0)

c) Mặt phẳng (left( alpha  ight)): (x – 5y + z = 0) có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n  = left( {1; – 5;1} ight)).

(Mpleft( eta  ight)) qua (Aleft( {3;2; – 1} ight)) song song với (mpleft( alpha  ight)) nên (left( eta  ight)) có cùng vectơ pháp tuyến .

Do đó (left( eta  ight)): (left( {x – 3} ight) – 5left( {y – 2} ight) + left( {z + 1} ight) = 0 Leftrightarrow x – 5y + z + 8 = 0)

d) Ta có (overrightarrow {AB}  = left( { – 1; – 1;1} ight))

(Mpleft( alpha  ight)): (x – y + z + 1 = 0) có vectơ pháp tuyến (overrightarrow m  = left( {1; – 1;1} ight)).
(Mpleft( eta  ight)) đi qua A, B và vuông góc với (mpleft( alpha  ight)) nên vectơ pháp tuyến của (left( eta  ight)) vuông góc với (overrightarrow {AB} ) và vuông góc với (overrightarrow m ) nên ta có thể chọn:

(overrightarrow n  = left[ {overrightarrow {AB} ;overrightarrow m } ight] = left( {0;2;2} ight))

Vậy (P): (2left( {y – 1} ight) + 2left( {z – 1} ight) = 0 Leftrightarrow y + z – 2 = 0)

e) Mặt phẳng đi qua (Mleft( {a,b,c} ight)) song song với mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là (overrightarrow k  = left( {0;0;1} ight)) nên có phương trình: (1left( {z – c} ight) = 0 Leftrightarrow z – c = 0)

Tương tự mặt phẳng đi qua (Mleft( {a,b,c} ight)) song song với mp(Oyz) có phương trình x – a = 0; mặt phẳng đi qua (Mleft( {a,b,c} ight)) song song với mp(Oxz) có phương trình y – b = 0.

g) Giả sử (Aleft( {a;0;0} ight),,,Bleft( {0,b,0} ight),,,Cleft( {0,0,c} ight)).

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên

({{a + 0 + 0} over 3} = 1;{{0 + b + 0} over 3} = 2;{{0 + 0 + c} over 3} = 3 Rightarrow a = 3;b = 6;c = 9)

Vậy mp(ABC): ({x over 3} + {y over 6} + {z over 9} = 1).

h) Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm (Delta ABC) khi và chỉ khi (OH ot mpleft( {ABC} ight)).

Vậy mp(ABC) đi qua H va có vectơ pháp tuyến là (overrightarrow {OH}  = left( {2;1;1} ight)) nên có phương trình :

(2left( {x – 2} ight) + left( {y – 1} ight) + left( {z – 1} ight) = 0 Leftrightarrow 2x + y + z – 6 = 0)