Bài 12 trang 82 SGK Hình học 12 Nâng cao, Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = h, đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC = b, BC = a. Gọi M là trung điểm...
Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = h, đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC = b, BC = a. Gọi M là trung điểm của AC và N là điểm sao cho . a) Tính độ dài đoạn thẳng MN. b) Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB.. Bài 12 trang 82 SGK Hình học 12 Nâng cao – Bài 1. Hệ tọa độ trong ...
a) Tính độ dài đoạn thẳng MN.
b) Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB.. Bài 12 trang 82 SGK Hình học 12 Nâng cao – Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian
Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = h, đáy là tam giác ABC vuông tại C, AC = b, BC = a. Gọi M là trung điểm của AC và N là điểm sao cho (overrightarrow {SN} = {1 over 3}overrightarrow {SB} ).
a) Tính độ dài đoạn thẳng MN.
b) Tìm sự liên hệ giữa a, b, h để MN vuông góc với SB.
Giải
Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ, B nằm trong góc xOy.
Ta có: (A = left( {0;0;0}
ight),C = left( {b;0;0}
ight),B = left( {b;a;0}
ight),S = left( {0;0;h}
ight)) .
(Mleft( {{b over 2};0;0} ight),overrightarrow {SB} = left( {b;a; – h} ight))
Gọi (Nleft( {x;y;z} ight)) thì (overrightarrow {SN} = left( {x;y;z – h} ight)).
(overrightarrow {SN} = {1 over 3}overrightarrow {SB} Leftrightarrow left{ matrix{
x = {b over 3} hfill cr
y = {a over 3} hfill cr
z – h = {{ – h} over 3} hfill cr}
ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x = {b over 3} hfill cr
y = {a over 3} hfill cr
z = {{2h} over 3} hfill cr}
ight. Rightarrow Nleft( {{b over 3};{a over 3};{{2h} over 3}}
ight))
a)
(eqalign{
& overrightarrow {MN} = left( {{b over 3} – {b over 2};{a over 3};{{2h} over 3}}
ight) = left( { – {b over 6};{a over 3};{{2h} over 3}}
ight) cr
& MN = sqrt {{{{b^2}} over {36}} + {{{a^2}} over 9} + {{4{h^2}} over 9}} = {1 over 6}sqrt {{b^2} + 4{a^2} + 16{h^2}} cr} )
b) (MN ot SB Leftrightarrow overrightarrow {MN} .overrightarrow {SB} = 0 Leftrightarrow – {{{b^2}} over 6} + {{{a^2}} over 3} + {{ – 2{h^2}} over 3} = 0 Leftrightarrow 4{h^2} = 2{a^2} – {b^2})
