Bài 18 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao, Cho hai mặt phẳng có phương trình là và Với giá trị nào của m thì: a) Hai mặt phẳng đó song song...

Bài 18. Cho hai mặt phẳng có phương trình là
(2x – my + 3z – 6 + m = 0) và (left( {m + 3} ight)x – 2y + left( {5m + 1} ight)z – 10 = 0)
Với giá trị nào của m thì:
a) Hai mặt phẳng đó song song ;
b) Hai mặt phẳng đó trùng nhau ;
c) Hai mặt phẳng đó cắt nhau ;
d) Hai mặt phẳng đó vuông góc?

Giải

Mặt phẳng (2x – my + 3z – 6 + m = 0) có vectơ pháp tuyến (overrightarrow {{n_1}}  = left( {2; – m;3} ight)).
Mặt phẳng (left( {m + 3} ight)x – 2y + left( {5m + 1} ight)z – 10 = 0) có vectơ pháp tuyến (overrightarrow {{n_2}}  = left( {m + 3; – 2;5m + 1} ight)).
Ta có

(left[ {overrightarrow {{n_1}} ;overrightarrow {{n_2}} } ight] = overrightarrow 0 Leftrightarrow left{ matrix{
– 5{m^2} – m + 6 = 0 hfill cr
– 7m + 7 = 0 hfill cr
{m^2} + 3m – 4 = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow m = 1)

Với m = 1 thì hai mặt phẳng có phương trình (2x – y + 3z – 5 = 0) và (4x – 2y + 6z – 10 = 0) nên chúng trùng nhau. Vậy:

a) Không tồn tại m để hai mặt phẳng đó song song.
b) Với m = 1 thì hai mặt phẳng đó trùng nhau.
c) Với (m e 1) thì hai mặt phẳng đó cắt nhau.
d) Hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau khi và chỉ khi

(overrightarrow {{n_1}} .overrightarrow {{n_2}}  = 0 Leftrightarrow 2left( {m + 3} ight) + 2m + 3left( {5m + 1} ight) = 0 Leftrightarrow 19m + 9 = 0 Leftrightarrow m = {{ – 9} over {19}})