Bài 6 trang 223 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ...
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng đáy. Một mặt phẳng đi qua CD cất các cạnh SA, SB lần lượt tại M, N. Đặt AM = x.
a) Tứ giác MNCD là hình gì ? Tính diện tích tứ giác MNCD theo a, x.
b) Xác định giá trị của x để thể tích của hình chóp S.MNCD bằng ({2 over 9}) lần thể tích hình chóp S.ABCD.
Giải
a) Do (AB//CD,{ m{ }}AB subset left( {SAB} ight),{ m{ }}CD subset left( {MNCD} ight)) nên hai mặt phẳng (SAB) và (MNCD) cắt nhau theo giao tuyến MN song song với AB và CD.
Mặt khác (CD ot left( {SAD} ight) Rightarrow CD ot DM.)
Vậy MNCD là hình thang vuông.
Vì MN//AB nên ta có ({{MN} over {AB}} = {{SM} over {SA}}.)
Vây (MN = {{AB.SM} over {SA}} = {{aSM} over a} = SM = a - x.)
({S_{MNCD}} = {1 over 2}left( {MN{ m{ }} + { m{ }}CD} ight).DM)
(eqalign{ & = {1 over 2}left( {a - { m{ }}x + a} ight)sqrt {{a^2} + {x^2}} cr & = {1 over 2}left( {2a - { m{ }}x} ight)sqrt {{a^2} + {x^2}} . cr} )
b) ({S_{ABCD}} = {1 over 3}{S_{ABCD}}.SA = {1 over 3}{a^3})
(= > {V_{S.ACD}}{ m{ }} = {V_{S.ACB}} = {1 over 6}{a^3}.)
({V_{S.MNCD}} = {V_{S.MNC}} + {V_{S.MCD}}.)
Mặt khác
({{{V_{S.MCN}}} over {{V_{S.ACB}}}} = {{SM} over {SA}}.{{SC} over {SC}}.{{SN} over {SB}} = {left( {{{a - x} over a}} ight)^2})
(Rightarrow {{{V_{S.MCN}}} over {{V_{S.ABCD}}}} = {1 over 2}{left( {{{a - x} over a}} ight)^2}.)
({{{V_{S.MCD}}} over {{V_{S.ACD}}}} = {{SM} over {SA}}.{{SC} over {SC}}.{{SD} over {SD}}={{SM} over {SA} }= {{a - x} over a} )
(Rightarrow {{{V_{S.MCD}}} over {{V_{S.ABCD}}}} = {{a - x} over {2a}}.)
({{{V_{S.MNCD}}} over {{V_{S.ABCD}}}} = {{{V_{S.MCN}} + {V_{S.MCD}}} over {{V_{S.ABCD}}}} = {{{V_{S.MCN}}} over {{V_{S.ABCD}}}} + {{{V_{S.MCD}}} over {{V_{S.ABCD}}}} )
( = {1 over 2}{left( {{{a - x} over a}} ight)^2} + {{a - x} over {2a}}.)
Từ đó ta có ({{{V_{S.MNCD}}} over {{V_{S.ABCD}}}} = {2 over 9} Leftrightarrow { m{ }}9{x^2} - { m{ }}27ax + 14{a^2} = { m{ }}0)
(Leftrightarrow left[ matrix{ x = {7 over 3}a ext{ ( loại vì theo giả thiết x < a)}hfill cr x = {2 over 3}a hfill cr} ight.)
Sachbaitap.com
