Bài 13 trang 82 SGK Hình học 12 Nâng cao, Tìm toạ độ tâm và tính bán kính của mỗi mặt cầu sau đây :...

Bài 13. Tìm toạ độ tâm và tính bán kính của mỗi mặt cầu sau đây :

a) ({x^2} + {y^2} + {z^2} – 8x + 2y + 1 = 0)

b) (3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x – 3y + 15z – 2 = 0)

c) (9{x^2} + 9{y^2} + 9{z^2} – 6x + 18y + 1 = 0)

Giải

a) Ta có

(eqalign{
& {x^2} + {y^2} + {z^2} – 8x + 2y + 1 = 0 cr
& Leftrightarrow left( {{x^2} – 8x + 16} ight) + left( {{y^2} + 2y + 1} ight) + {z^2} = 16 cr
& Leftrightarrow {left( {x – 4} ight)^2} + {left( {y + 1} ight)^2} + {z^2} = 16 cr} )

Mặt cầu có tâm (Ileft( {4; – 1;0} ight)) và có bán kính R = 4.

b) Ta có

(eqalign{
& 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} + 6x – 3y + 15z – 2 = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x – y + 5z – {2 over 3} = 0 cr
& Leftrightarrow {left( {x + 1} ight)^2} + {left( {y – {1 over 2}} ight)^2} + {left( {z + {5 over 2}} ight)^2} = {{49} over 6} cr} )

Mặt cầu có tâm (Ileft( { – 1;{1 over 2}; – {5 over 2}} ight)) và có bán kính (R = {{7sqrt 6 } over 6}).

c) 

(eqalign{
& 9{x^2} + 9{y^2} + 9{z^2} – 6x + 18y + 1 = 0 cr
& Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} – {2 over 3}x + 2y + {1 over 9} = 0 cr
& Leftrightarrow {left( {x – {1 over 3}} ight)^2} + {left( {y + 1} ight)^2} + {z^2} = 1 cr} )

Mặt cầu có tâm (Ileft( {{1 over 3}; – 1;0} ight)) và có bán kính R = 1.