Bài 11 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao, Cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và D(-2 ; 1 ; -2). a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh...
Cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và D(-2 ; 1 ; -2). a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện. b) Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó. c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.. Bài 11 trang 81 ...
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.
b) Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó.
c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.. Bài 11 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao – Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian
Bài 11. Cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và D(-2 ; 1 ; -2).
a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.
b) Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó.
c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.
Giải
a) Ta có:
(eqalign{
& overrightarrow {AB} = left( { – 1;1;0}
ight),overrightarrow {AC} = left( { – 1;0;1}
ight),overrightarrow {AD} = left( { – 3;1; – 2}
ight) cr
& left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} }
ight] = left( {left| matrix{
1,,,,,,0 hfill cr
0,,,,,1 hfill cr}
ight|;left| matrix{
0,,,, – 1 hfill cr
1,,,,, – 1 hfill cr}
ight|;left| matrix{
– 1,,,,,,1 hfill cr
– 1,,,,,,,0 hfill cr}
ight|}
ight) = left( { – 3;1; – 2}
ight) cr
& Rightarrow left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} }
ight].overrightarrow {AD} = – 3.1 + 1.1 – 2.1 = – 4
e 0 cr} )
Do đó ba vectơ (overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} ,overrightarrow {AD} ) không đồng phẳng. Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.
b) Ta có (overrightarrow {CD} = left( { – 2;1; – 3} ight),overrightarrow {BD} = left( { – 2;0; – 2} ight),overrightarrow {BC} = left( {0; – 1;1} ight)).
Gọi (alpha ,eta ,gamma ) lần lượt là góc tạo bởi các cặp đường thẳng AB và CD, AC và BD, AD và BC thì
(eqalign{
& cos alpha = left| {cos left( {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {CD} }
ight)}
ight| = {{left| {2 + 1 + 0}
ight|} over {sqrt 2 .sqrt {14} }} = {{3sqrt 7 } over {14}} cr
& cos eta = left| {cos left( {overrightarrow {AC} ,overrightarrow {BD} }
ight)}
ight| = {{left| {2 + 0 – 2}
ight|} over {sqrt 2 .sqrt 8 }} = 0 Rightarrow AC ot BD cr
& cos gamma = left| {cos left( {overrightarrow {AD} ,overrightarrow {BC} }
ight)}
ight| = {{left| {0 – 1 – 2}
ight|} over {sqrt 2 .sqrt {14} }} = {{3sqrt 7 } over {14}} cr} )
c) Thể tích tứ diện ABCD là: (V = {1 over 6}left| {left[ {overrightarrow {AB} ,overrightarrow {AC} } ight].overrightarrow {AD} } ight| = {1 over 6}left| { – 4} ight| = {2 over 3})
Gọi ({h_A}) là đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.
Ta có:
(eqalign{
& V = {1 over 3}{h_A}.{S_{BCD}} Rightarrow {h_A} = {{3V} over {{S_{BCD}}}} cr
& {S_{BCD}} = {1 over 2}left| {left[ {overrightarrow {BC} ,overrightarrow {BD} }
ight]}
ight| = sqrt 3 cr} )
Vậy ({h_A} = {{3.{2 over 3}} over {sqrt 3 }} = {{2sqrt 3 } over 3})
