Bài 13 trang 198 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : ((x - 1) + {(y - 2)^2} = 4) và hai điểm A(1 ; 4),     . Viết phương trình đường thẳng d đi qua B cắt đường tròn (C) tại M, N sao cho AMN có diện tích lớn nhất.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.36)

Đường tròn (C) có tâm I(1 ; 2) và có bán kính R = 2.

Ta có ({x_A} = {x_1} = {x_B} = 1)

Suy ra A, I, B cùng thuộc đường thẳng có phương trình x = 1.

Ta có: (IA = sqrt {{{left( {1 - 1} ight)}^2} + {{left( {4 - 2} ight)}^2}}  = 2 = R)

(IB = sqrt {{{left( {1 - 1} ight)}^2} + {{left( {{1 over 2} - 2} ight)}^2}}  = {3 over 2} < R.)

Suy ra điểm A nằm trên đường tròn và điểm B nằm trong hình tròn.

Gọi H và K là hình chiếu của I và A xuống đường thẳng d.

Ta có:

({{{S_{AMN}}} over {{S_{IMN}}}} = {{AK} over {IH}} = {{AB} over {IB}} = {{{7 over 2}} over {{3 over 2}}} = {7 over 3}.)

Suy ra ({S_{AMN}} = {7 over 3}{S_{IMN}})

( = {7 over 3}.{1 over 2}.I{ m{I}}sin MIN)

( = {{14} over 3}sin MIN le {{14} over 3}.)

({S_{AMN}}) lớn nhất ( Leftrightarrow sin MIN = 1 Leftrightarrow widehat {MIN} = {90^ circ })

(Leftrightarrow IH = {{Rsqrt 2 } over 2} Leftrightarrow d(I,MN) = sqrt 2 )

Phương trình đường thẳng MN là : 

(y - {1 over 2} = k(x - 1) Leftrightarrow 2kx - 2y + (1 - 2k) = 0.)

Ta có:

(eqalign{
& d(I,MN) = sqrt 2 cr
& Leftrightarrow {{left| {2k - 4 + 1 - 2k} ight|} over {sqrt {4{k^2} + 4} }} = sqrt 2 cr} )

( Leftrightarrow 3 = sqrt {8({k^2} + 1)}  Leftrightarrow k =  pm {{sqrt 2 } over 4}.)

Vậy phương trình đường thẳng d là : (y =  pm {{sqrt 2 } over 4}left( {x - 1} ight) + {1 over 2}).

Sachbaitap.net