Câu 142 trang 97 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng EFGH là hình thoi.

Cho hình bình hành ABCD, các đường chéo cắt nhau ở O. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là giao điểm của các đường phân giác của các tam giác AOB, BOC, COD, DOA. Chứng minh rằng EFGH là hình thoi.

Giải:                                                                         

Ta có: (widehat {AOB} = widehat {COD}) (đối đỉnh)

(widehat {EOB} = {1 over 2}widehat {AOB}) (gt)

(widehat {COG} = {1 over 2}widehat {COD}) (gt)

Suy ra: (widehat {EOB} = widehat {COG})

(widehat {EOB} + widehat {BOC} + widehat {COG} = 2widehat {EOB} + widehat {BOC})

mà (widehat {AOB} + widehat {BOC} = {180^0}) (kề bù)

hay (2widehat {EOB} + widehat {BOC} = {180^0})

Suy ra: E, O, G thẳng hàng

Ta lại có: (widehat {BOC} = widehat {AOD}) (đối đỉnh)

(widehat {HOD} = {1 over 2}widehat {AOD}) (gt)

(widehat {FOC} = {1 over 2}widehat {BOC}) (gt)

Suy ra: (widehat {HOD} = widehat {FOC})

(widehat {HOD} + widehat {COD} + widehat {FOC} = 2widehat {HOD} + widehat {COD})

mà (widehat {AOD} + widehat {COD} = {180^0}) (kề bù)

hay(2widehat {HOD} + widehat {COD} = {180^0})             

Suy ra: H, O, F thẳng hàng

(widehat {ADO} = widehat {CBO}) (so le trong)

(widehat {HDO} = {1 over 2}widehat {ADO}) (gt)

(widehat {FBO} = {1 over 2}widehat {CBO}) (gt)

Suy ra: (widehat {HDO} = widehat {FBO})

- Xét ∆ BFO và ∆ DHO:

(widehat {HDO} = widehat {FBO}) (chứng minh trên_

OD = OB (tính chất hình bình hành)

(widehat {HOD} = widehat {FOB}) (đối đỉnh)

Do đó: ∆ BFO = ∆ DHO (g.c.g)

⇒ OF = OH

(widehat {OAB} = widehat {OCD}) (so le trong)

(widehat {OAE} = {1 over 2}widehat {OAB}) (gt)

(widehat {OCG} = {1 over 2}widehat {OCD}) (gt)

Suy ra: (widehat {OAE} = widehat {OCG})       

- Xét ∆ OAE và ∆ OCG:

(widehat {OAE} = widehat {OCG}) (chứng minh trên)

OA = OC (tính chất hình bình hành)

(widehat {EOA} = widehat {GOC}) (đối đỉnh)

Do đó: ∆ OAE = ∆ OCG (g.c.g)

⇒ OE = OG

Suy ra: Tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

OE ⊥ OF (tính chất hai góc kề bù)

hay EG ⊥ FH

Vậy: Tứ giác EFGH là hình thoi.

Sachbaitap.com