Câu 133 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của một hình thoi là đỉnh của một hình chữ nhật.

Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của một hình thoi là đỉnh của một hình chữ nhật.

Giải:                                                           

Giả sử hình thoi ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

- Trong ∆ ABC ta có:

E là trung điểm của AB

F là trung điểm của BC

nên EF là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ EF // AC và EF = ({1 over 2})AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

- Trong ∆ ADC ta có:

H là trung điểm của AD

G là trung điểm của CD

nên HG là đường trung bình của ∆ ADC

⇒ HG // AC và HG = ({1 over 2})AC ( tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG

Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

Mặt khác: AC ⊥ BD (tính chất hình thoi)

EF // AC (chứng minh trên)

Suy ra: EF ⊥ BD

Trong ∆ ABD ta có EH là đường trung bình

⇒ EH // BD (tính chất đường trung bình của tam giác)

Suy ra: EH ⊥ EF hay  = 1v

Vậy hình bình hành EFGH là hình chữ nhật.

Sachbaitap.com