Bài 12 trang 84 SGK Hình học 10 Nâng cao, Tìm hình chiếu vuông góc của điểm P(3, -2) trên đường thẳng trong mỗi trường hợp sa...

Tìm hình chiếu vuông góc của điểm P(3, -2) trên đường thẳng  trong mỗi trường hợp sau

a) 

(Delta :left{ matrix{
x = t hfill cr
y = 1 hfill cr} ight.)

b) (Delta :{{x – 1} over 3} = {y over { – 4}})

c) (Delta :5x – 12y + 10 = 0.)

Giải

a) (Delta :y = 1) có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n left( {0;1} ight).)

Đường thẳng (Delta ‘) vuông góc với (Delta ) nên có vectơ pháp tuyến là: (overrightarrow {n’} left( {1;0} ight))

Đường thẳng (Delta ‘) qua P và vuông góc với (Delta ) có phương trình tổng quát là:

(1.left( {x – 3} ight) = 0 Leftrightarrow x = 3.)

Gọi Q là hình chiếu của P trên (Delta ) do đó Q là giao điểm của (Delta ) và (Delta ‘) , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

(left{ matrix{
x = 3 hfill cr
y = 1 hfill cr} ight.)

Vậy Q(3, 1)

b) (Delta ) có vectơ chỉ phương (overrightarrow u left( {3; – 4} ight)) . Đường thẳng (Delta ‘) qua P và vuông góc với  nên có vectơ pháp tuyến (overrightarrow u left( {3; – 4} ight)) nên có phương trình tổng quát là:

(eqalign{
& 3.left( {x – 3} ight) – 4.left( {y + 2} ight) = 0 cr
& Leftrightarrow 3x – 4y – 17 = 0. cr} ) 

Gọi Q là hình chiếu của P trên (Delta )  do đó Q là giao điểm của (Delta ) và (Delta ‘) , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

(left{ matrix{
{{x – 1} over 3} = {y over { – 4}} hfill cr
3x – 4y – 17 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
– 4x – 3y + 4 = 0 hfill cr
3x – 4y – 17 = 0 hfill cr} ight. )

(Leftrightarrow left{ matrix{
x = {{67} over {25}} hfill cr
y = – {{56} over {25}} hfill cr} ight.) 

Vậy (Qleft( {{{67} over {25}}; – {{56} over {25}}} ight).)

c) (Delta ) có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n left( {5; – 12} ight).)

Đường thẳng (Delta ‘) vuông góc với (Delta ) nên có vectơ chỉ phương là (overrightarrow n left( {5; – 12} ight).) 

Đường thẳng (Delta ‘)  qua P và vuông góc với (Delta ) có phương trình chính tắc là:

 ({{x – 3} over 5} = {{y + 2} over { – 12}} Leftrightarrow  – 12x – 5y + 26 = 0)

Gọi Q là hình chiếu của P trên (Delta ) do đó Q là giao điểm của (Delta ) và (Delta ‘) , tọa độ của Q là nghiệm của hệ sau:

(left{ matrix{
5x – 12x + 10 = 0 hfill cr
– 12x – 5y + 26 = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x = {{262} over {169}} hfill cr
y = {{250} over {169}} hfill cr} ight.)

Vậy (Qleft( {{{262} over {169}};{{250} over {169}}} ight).)