Bài 5 trang 80 Hình học 10 Nâng cao: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua điểm M...

Cho đường thẳng d có phương trình x – y = 0 và điểm M(2, 1)

a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua điểm M.

b) Tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d.

Giải

a) Đường thẳng d qua O(0, 0) và có vectơ pháp tuyến (overrightarrow n  = left( {1; – 1} ight)) . Gọi (Nleft( {{x_N};{y_N}} ight)) là điểm đối xứng của O qua M thì M là trung điểm của ON, ta có:

(left{ matrix{
{x_M} = {{{x_O} + {x_N}} over 2} hfill cr
{y_M} = {{{y_O} + {y_N}} over 2} hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
{x_N} = 2{x_M} – {x_O} = 4 hfill cr
{y_N} = 2{y_M} – {y_O} = 2 hfill cr} ight.)

Vậy N(4, 2)

Đường thẳng đối xứng với d qua M là đường thẳng đi qua N(4, 2) và song song với d nên có phương trình tổng quát là:

(1.left( {x – 4} ight) – 1.left( {y – 1} ight) = 0 Leftrightarrow x – y – 2 = 0.)

b) Gọi d’ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với d thì d’ có vectơ pháp tuyến (overrightarrow m  = left( {1;1} ight)) do đó d’ có phương trình tổng quát là:

(1.left( {x – 2} ight) + 1.left( {y – 1} ight) = 0 Leftrightarrow x + y – 3 = 0)

Hình chiếu M’ của M trên d có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:

(left{ matrix{
x – y = 0 hfill cr
x + y – 3 = 0 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x = {3 over 2} hfill cr
y = {3 over 2} hfill cr} ight.)

Vậy (M’left( {{3 over 2};{3 over 2}} ight))