Bài 12 trang 71 Hình học 10 Nâng cao: Cho đường tròn (O; R) và một điểm P cố định ở bên trong đường tròn đó. Hai dây cung thay đổi AB và CD...

Cho đường tròn (O; R) và một điểm P cố định ở bên trong đường tròn đó. Hai dây cung thay đổi AB và CD luôn đi qua P và vuông góc với nhau.

a) Chứng minh rằng (A{B^2} + C{D^2}) không đổi.

b) Chứng minh rằng (P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2}) không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.

Hướng dẫn trả lời

a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Ta có (OI ot AB,,;,,OJ ot CD)

Suy ra OIPJ là hình chữ nhật. Ta có

(eqalign{
& A{B^2} + C{D^2} = 4(A{I^2} + C{J^2}) cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = 4(O{A^2} – O{I^2} + C{O^2} – J{O^2}) cr} )

                  ( = 4(2{R^2} – O{P^2}))  ( không đổi do cố định).

b) Ta có

(eqalign{
& P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2} cr&= {(overrightarrow {PA} – overrightarrow {PB} )^2} + {(overrightarrow {PC} – overrightarrow {PD} )^2} + 2.overrightarrow {PA} .,overrightarrow {PB} + 2overrightarrow {PC} .,overrightarrow {PD} cr
& = A{B^2} + C{D^2} + 4(P{O^2} – {R^2}) cr
& = 4(2{R^2} – O{P^2}) + 4(P{O^2} – {R^2}) cr
&  = 4{R^2} cr} )

 Vậy  (P{A^2} + P{B^2} + P{C^2} + P{D^2})  không phụ thuộc vào vị trí của điểm P.