Bài 12 trang 192 Đại số 10 Nâng cao: Kim giờ và kim phút đồng hồ bắt đầu cùng chạy từ vị trí Ox chỉ số 12 (tức lúc 0 giờ). Sau thời gian t ...

Kim giờ và kim phút đồng hồ bắt đầu cùng chạy từ vị trí Ox chỉ số 12 (tức lúc 0 giờ). Sau thời gian t giờ (t≥0), kim giờ đến vị trí tia Ou kim phút đến vị trí tia Ov.

a) Chứng minh rằng khi quay như thế, kim giờ quét góc lượng giác (Ox; Ou) có số đo ( – {pi  over 6}t) , kim phút quét góc lượng giác (Ox; Ov) có số đo : -2πt. Hãy tìm số đo của góc lượng giác (Ou; Ov) theo t.

b) Chứng minh rằng hai tia Ou, Ov trùng nhau khi và chỉ khi (t = {{12k} over {11}}) với k là một số tự nhiên nào đó.

c) Chứng minh rằng trong 12 giờ (0 ≤ t ≤ 12), hai tia Ou’ và Ov’ ở vị trí đối nhau khi và chỉ khi (t = {6 over {11}}(2k + 1)) với k = 0, 1, …10    

Đáp án

a) Trong một giờ, góc lượng giác có số đo ( – {{2pi } over {12}}) , nên trong t giờ, kim phút quét góc lượng giác (Ox, Ov) có số đo -2πt, kim giờ quét góc (Ox, Ou) có số đo ( – {pi  over 6}t) .

Từ đó, theo hệ thức Salo, góc lượng giác (Ou, Ov) có:

(eqalign{
& sđ(Ou,Ov) = sđ(Ox,,Ov) – sđ(Ox,Ou) + 12pi cr
& = – 2pi t, + {pi over 6}t + 12pi = ( – {{11} over 6}t + 2l)pi ,,(l inmathbb Z) cr} )

b) Hai tia Ou, Ov trùng nhau khi và chỉ khi (Ou, Ov) = 2mπ (m ∈ Z)

Vậy ( – {{11t} over 6} + 2l = 2m) , tức là ({{11} over 6}t = 2(l – m)) .

Do đó: (t = {{12k} over {11}},,,k in Z) 

Nhưng vì t ≥ 0 nên k ∈ N

c) Hai tia Ou, Ov đối nhau khi và chỉ khi (Ou, Ov) = (2m – 1)π (m ∈ Z)

Vậy ( – {{11t} over 6} + 2l = 2m)  – 1, tức là ({{11} over 6}t = 2(l – m)) + 1

Do đó: (t = {6 over {11}}(2k + 1)pi ,,,(k in Z))

Vì (0 ≤ t ≤ 12) nên k = 0, 1, 2, … 10