Bài 13 trang 17 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Tìm các hệ số a, b, c, d của hàm số sao cho hàm số đạt cực tiểu và đạt cực đại...

Bài 13. Tìm các hệ số (a, b, c, d) của hàm số:  (fleft( x ight) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d) sao cho hàm số (f) đạt cực tiểu tại điểm (x = 0,fleft( 0 ight) = 0) và đạt cực đại tại điểm (x = 1,fleft( 1 ight) = 1.)

Giải

Ta có: (f’left( x ight) = 3a{x^2} + 2bx + c)

(f) đạt cực tiểu tại điểm (x=0) nên (f’left( 0 ight) = 0 Rightarrow c = 0)

(fleft( 0 ight) = 0 Rightarrow d = 0). Vậy (fleft( x ight) = a{x^3} + b{x^2})

(f) đạt cực đại tại điểm (x=1) nên (f’left( 1 ight) = 0 Rightarrow 3a + 2b = 0)

(fleft( 1 ight) = 1 Rightarrow a + b = 1)

Ta có hệ phương trình:

(left{ matrix{
3a + 2b = 0 hfill cr
a + b = 1 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
a = – 2 hfill cr
b = 3 hfill cr} ight.)

Thử lại với (a=-2, b=3, c=d=0) ta được:

(fleft( x ight) =  – 2{x^3} + 3{x^2};,,,,,,,f’left( x ight) =  – 6{x^2} + 6x;,,,,,,f”left( x ight) =  – 12x + 6)

(f”left( 0 ight) = 6 > 0) : Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x=0); (fleft( 0 ight) = 0;f”left( 1 ight) =  – 6 < 0)

Hàm số đạt cực đại tại điểm (x = 1;fleft( 1 ight) = 1)

Vậy (a =  – 2;b = 3;c = d = 0).