Bài 1.9 trang 154 bài tập SBT Đại số và giải tích 11: Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau...

Nếu (lim {v_n} = 0) và (left| {{u_n}} ight| le {v_n}) với mọi n thì (lim {u_n} = 0). Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau:

a)  ({u_n} = {1 over {n!}}) ;

b) ({u_n} = {{{{left( { – 1} ight)}^n}} over {2n – 1}}) ;

c) ({u_n} = {{2 – n{{left( { – 1} ight)}^n}} over {1 + 2{n^2}}}) ;

d) ({u_n} = {left( {0,99} ight)^n}cos n)      ;

e) ({u_n} = {5^n} – cos sqrt n pi )   

Giải:

a)     Vì (left| {{1 over {n!}}} ight| < {1 over n}) với mọi n và (lim {1 over n} = 0) nên (lim {1 over {n!}} = 0)

b)     0 ;             c) 0 ;                   d) 0 ;

e)     Ta có ({u_n} = {5^n} – cos sqrt n pi  = {5^n}left( {1 – {{cos sqrt n pi } over {{5^n}}}} ight))    (1)

Vì (left| {{{cos sqrt n pi } over {{5^n}}}} ight| le {1 over {{5^n}}}) và (lim {1 over {{5^n}}} = 0) nên (lim {{cos sqrt n pi } over {{5^n}}} = 0)

Do đó, (lim left( {1 – {{cos sqrt n pi } over {{5^n}}}} ight) = 1 > 0)      (2)

Mặt khác,  (lim {5^n} =  + infty )    (3)           

Từ (1), (2) và (3) suy ra (lim left( {{5^n} – cos sqrt n pi } ight) = lim {5^n}left( {1 – {{cos sqrt n pi } over {{5^n}}}} ight) =  + infty )