Bài 1.14 trang 154 SBT Đại số và giải tích 11: Cho dãy số (bn) có số hạng tổng quát...

Cho dãy số (left( {{b_n}} ight)) có số hạng tổng quát là ({b_n} = sin alpha  + {sin ^2}alpha  + … + {sin ^n}alpha ) với (alpha   e {pi  over 2} + kpi ). Tìm giới hạn của (left( {{b_n}} ight))

Giải:

Dãy số: (sin alpha ..,{sin ^n}alpha …) với (alpha   e {pi  over 2} + kpi ), là một cấp số nhân vô hạn, công bội (q = sin alpha )

Vì (left| {sin alpha } ight| < 1) với (alpha   e {pi  over 2} + kpi ) nên (left( {{{sin }^n}alpha } ight)) là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Hơn nữa, ({b_n} = sin alpha  + {sin ^2}alpha  + … + {sin ^n}alpha  = {S_n})

Do đó, (lim {b_n} = sin alpha  + {sin ^2}alpha  + … + {sin ^n}alpha  + … = {{sin alpha } over {1 – sin alpha }})