Bài 1.10 trang 154 SBT Đại số và giải tích 11: Cho dãy số (un) xác định bởi công thức truy...

Cho dãy số $left( {{u_n}} ight)$ xácđịnh bởi công thức truy hồi

(left{ matrix{
{u_1} = 2 hfill cr
{u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} over 2}{ m{ voi }}n ge 1 hfill cr} ight.)

Chứng minh rằng  có giới hạn hữu hạn khi  Tìm giới hạn đó.

Giải :

(left{ matrix{
{u_1} = 2 hfill cr
{u_{n + 1}} = {{{u_n} + 1} over 2}{ m,,{ vớii }},,n ge 1 hfill cr} ight.)

Ta có, ({u_1} = 2,,,{u_2} = {3 over 2},,,{u_3} = {5 over 4},,,{u_4} = {9 over 8},,,{u_5} = {{17} over {16}})

Dự đoán, ({u_n} = {{{2^{n – 1}} + 1} over {{2^{n – 1}}}}) với (n in N*)

Chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp (bạn đọc tự chứng minh).

Từ đó, 

(eqalign{
& lim {u_n} = lim {{{2^{n – 1}} + 1} over {{2^{n – 1}}}} cr
& = lim left[ {1 + {{left( {{1 over 2}} ight)}^{n – 1}}} ight] cr
& = lim left[ {1 + 2.{{left( {{1 over 2}} ight)}^n}} ight] = 1 cr})