Bài 1.55 trang 38 Sách bài tập Giải tích 12: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m =...

Cho hàm số:  y = f(x) = x⁴ – 2mx² + m³ – m²

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

b) Xác định m để đồ thị (Cm) của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Hướng dẫn làm bài:

a) 

(eqalign{
& y = {x^4} – 2{x^2} cr
& y’ = 4{x^3} – 4x = 4x({x^2} – 1) cr
& y’ = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
x = – 1 hfill cr
x = 0 hfill cr
x = 1 hfill cr} ight. cr} )

Bảng biến thiên:

Đồ thị

b) (y’ = 4{x^3} – 4mx = 4x({x^2} – m))

Để  (C_m) tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt thì điều kiện cần và đủ là phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 và y_CT = 0.

+) Nếu (m le 0) thì ({x^2} – m ge 0) với mọi x nên đồ thị không thể tiếp xúc với trục Ox tại hai điểm phân biệt.

+) Nếu m > 0  thì y’ = 0 khi (x = 0;x =  pm sqrt m ) .

(eqalign{
& f(sqrt m ) = 0 Leftrightarrow {m^2} – 2{m^2} + {m^3} – {m^2} = 0 cr
& Leftrightarrow {m^2}(m – 2) = 0 Leftrightarrow m = 2 cr} )

 (do m  > 0)

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.