Bài 1.40 trang 34 SBT Giải tích 12: Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:...

Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:

a) ({(x – 1)^2} = 2|x – k|)                                                             

 b) ({(x + 1)^2}(2 – x) = k)

Hướng dẫn làm bài:

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

(2(x – k) =  pm {(x – 1)^2})

( Leftrightarrow left[ {matrix{{ – {x^2} + 4x – 1 = 2k} cr {{x^2} + 1 = 2k} cr} } ight.)

Ta vẽ đồ thị của hai hàm số: (y =  – {x^2} + 4x – 1)  và  (y = {x^2} + 1) 

Từ đồ thị ta suy ra:

2k > 3 : phương trình có hai nghiệm;

2k = 3 : phương trình có ba nghiệm;

2 < 2k < 3 : phương trình có bốn nghiệm;

2k = 2 : phương trình có ba nghiệm;

1 < 2k < 2 : phương trình có bốn nghiệm ;

2k = 1 : phương trình có ba nghiệm ;

2k < 1 : phương trình có hai nghiệm.

(Leftrightarrow left[ {matrix{
{1 < k < {3 over 2},{ m{or}}{1 over 2} < k < 1(1)} cr
{k = 1,,,{ m{hoặc }},,,k = {1 over 2},,,{ m{hoặc }},,,k = {3 over 2}(2)} cr
{k > {3 over 2},,,{ m{hoặc }},,,k < {1 over 2}(3)} cr} } ight.)

(1) : phương trình có bốn nghiệm;

(2): phương trình có ba nghiệm ;

(3): phương trình có hai nghiệm.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (y = {(x + 1)^2}(2 – x)) .

(y =  – {x^3} + 3x + 2 Rightarrow  y’ =  – 3{x^2} + 3)

(y’ = 0 Leftrightarrow  left[ {matrix{
{x = 1} cr
{x = – 1} cr} } ight.)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Từ đồ thị hàm số ta suy ra:

* k > 4  hoặc k < 0: phương trình có một nghiệm;

* k  = 4 hoặc k = 0 : phương trình có hai nghiệm;

* 0 < k < 4: phương trình có ba nghiệm.