Bài 1.39 trang 34 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm...

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: (y =  – {x^3} + 3x + 1)

b) Chỉ ra phép biến hình biến (C) thành đồ thị (C’) của hàm số: (y = {(x + 1)^3} – 3x – 4)

c) Dựa vào đồ thị (C’), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: ({(x + 1)^3} = 3x + m)

d) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị (C’), biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (y =  – {x over 9} + 1)

Hướng dẫn làm bài:

a)

b) Tịnh tiến (C) song song với trục Ox sang trái 1 đơn vị, ta được đồ thị (C₁) của hàm số.

(y = f(x) =  – {(x + 1)^3} + 3(x + 1) + 1) hay  (f(x) =  – {(x + 1)^3} + 3x + 4) (C1)

Lấy đối xứng  (C1) qua trục Ox, ta được đồ thị (C’) của hàm số (y = g(x) = {(x + 1)^3} – 3x – 4)

c) Ta có:  ({(x + 1)^3} = 3x + m)  (1)

( Leftrightarrow {(x + 1)^3} – 3x – 4 = m – 4)

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đường :

(y = g(x) = {(x + 1)^3} – 3x – 4)  (C’)  và y = m – 4          (d1)

Từ đồ thị, ta suy ra:

+) m > 5 hoặc m < 1: phương trình (1) có một nghiệm.

+) m = 5 hoặc m = 1 : phương trình (1) có hai nghiệm.

+) 1 < m < 5 , phương trình (1) có ba nghiệm.

d) Vì (d) vuông góc với đường thẳng (y =  – {x over 9} + 1)  nên ta có hệ số góc bằng 9.

Ta có: (g'(x) = 3{(x + 1)^2} – 3)

(g'(x) = 9 Leftrightarrow left[ matrix{
x = 1 hfill cr
x = – 3 hfill cr} ight.)  

Có hai tiếp tuyến phải tìm là:

           (y – 1 = 9(x – 1) ⇔ y = 9x – 8);

           (y + 3 = 9(x  + 3) ⇔ y = 9x + 24.)