Bài 1.51 trang 37 Sách BT Giải tích 12: Xác định m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó, hàm số đồng biến hay...

Cho hàm số: (y =  – ({m^2} + 5m){x^3} + 6m{x^2} + 6x – 5)

a) Xác định m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó, hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?

b) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x = 1 ?

Hướng dẫn làm bài:

a)

(eqalign{
& y = – ({m^2} + 5m){x^3} + 6m{x^2} + 6x – 5 cr
& y’ = – 3({m^2} + 5m){x^2} + 12mx + 6 cr} )  

Hàm số đơn điệu trên R khi và chỉ khi y’ không đổi dấu.

Ta xét các trường hợp:

+)  ({m^2} + 5m = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
m = 0 hfill cr
m = – 5 hfill cr} ight.)

– Với m = 0 thì y’ = 6 nên hàm số luôn đồng biến.

– Với m = -5 thì y’ = -60x + 6 đổi dấu khi x đi qua .

+) Với ({m^2} + 5m e 0) Khi đó, y’ không đổi dấu nếu 

(eqalign{
& Delta ‘ = 36{m^2} + 18({m^2} + 5m) le 0 cr
& Leftrightarrow  3{m^2} + 5m le 0 Leftrightarrow  – {5 over 3} le m le 0 cr} )       

– Với điều kiện đó, ta có ( – 3({m^2} + 5m) > 0) nên y’ > 0 và do đó hàm số đồng biến trên R.

Vậy với điều kiện ( – {5 over 3} le m le 0) thì hàm số đồng biến trên R.

b) Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 1 thì y’(1) = 0. Khi đó:

(y'(1) = – 3{m^2} – 3m + 6 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
m = 1 hfill cr
m = – 2 hfill cr} ight.)                     

Mặt khác, (y” =  – 6({m^2} + 5m)x + 12m)

+) Với m = 1  thì y’’ = -36x + 12. Khi đó, y’’(1) = -24 < 0 , hàm số đạt cực đại tại x = 1.

+) Với m = -2 thì y’’ = 36x – 24. Khi đó, y’’(1) = 12 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Vậy với m = 1 thì hàm số đạt cực đại tại x = 1.