Bài 1.1 trang 99 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N* )

Chứng minh các đẳng thức sau (với n ∈ N* )

a) (2 + 5 + 8 + ... + left( {3n - 1} ight) = {{nleft( {3n + 1} ight)} over 2};)     

b) (3 + 9 + 27 + ... + {3^n} = {1 over 2}left( {{3^{n + 1}} - 3} ight).)    

Giải:

a)      Đặt vế trái bằng S_n. Kiểm tra với n = 1 hệ thức đúng.

Giả sử đã có ({S_k} = {{kleft( {3k + 1} ight)} over 2}) với (k ge 1). 

Ta phải chứng minh ({S_{k + 1}} = {{left( {k + 1} ight)left( {3k + 4} ight)} over 2})

Thật vậy

(eqalign{
& {S_{k + 1}} = {S_k} + 3left( {k + 1} ight) - 1 cr
& = {{kleft( {3k + 1} ight)} over 2} + 3k + 2 cr
& = {{3{k^2} + k + 6k + 4} over 2} cr
& = {{3{k^2} + 7k + 4} over 2} cr
& { m{ = }}{{left( {k + 1} ight)left( {3k + 4} ight)} over 2}{ m{ }}left( {đpcm} ight) cr} )

b)      Đặt vế trái bằng làm tương tự như câu a).