Câu 35 trang 120 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho tam giác ABC vuông tại B. Lấy điểm D bất kì trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) kẻ từ điểm A ((S ≢ A)). Gọi B₁, C₁ lần lượt là hình chiếu của điểm A trên SB và SC. Chứng minh rằng khi điểm S thay đổi thì

a) Giao tuyến của mặt phẳng (ABC) và mặt phẳng (AB₁C₁) là đường thẳng cố định và là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Đường thẳng B₁C₁ đi qua điểm cố định I và (widehat {IAB} = widehat {IC{ m{A}}}).

Trả lời

 

a) Dễ chứng minh được (SC ot left( {A{B_1}{C_1}} ight)). Gọi At là giao tuyến của (ABC) và (AB₁C₁) thì (At ot SC). Mặt khác (SA ot left( {ABC} ight)) nên (At ot AC). Vậy đường thẳng At là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Kí hiệu I là giao điểm của At và đường thẳng BC thì I là điểm có định, mặt khác các điểm I, B₁, C₁ thuộc cả hai mặt phẳng (AB₁C₁) và (SBC), do đó các điểm I, B₁, C₁ thẳng hàng, tức là đường thẳng B₁C₁ đi qua điểm cố định I khi S thay đổi trên đường thẳng kẻ từ A vuông góc với mp(ABC).

Cũng từ chứng minh trên ta có (widehat {IAB} = widehat {IC{ m{A}}}) (cùng chắn cung AB của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).

Sachbaitap.com