Câu 17 trang 117 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng a, (widehat {BA{ m{D}}} = {60^0},widehat {BAA'} = widehat {DAA'} = {120^0}) .

a) Tính góc giữa các cặp đường thẳng AB với A’D và AC’ với B’D.

b) Tính diện tích các hình A’B’CD và ACC’A’.

c) Tính góc giữa đường thẳng AC’ và các đường thẳng AB, AD, AA’.

Trả lời

 

Đặt (overrightarrow {AB}  = overrightarrow x ,overrightarrow {A{ m{D}}}  = overrightarrow y ,overrightarrow {AA'}  = overrightarrow z )  thì

(eqalign{  & {overrightarrow x ^2} = {overrightarrow y ^2} = {overrightarrow z ^2} = {a^2}  cr  & overrightarrow x .overrightarrow y  = {{{a^2}} over 2};  cr  & overrightarrow x .overrightarrow z  =  - {{{a^2}} over 2};  cr  & overrightarrow y .overrightarrow z  =  - {{{a^2}} over 2} cr} )

a) Vì AB // A’B’ nên góc giữa AB và A’D bằng góc giữa A’B’ và A’D, đó là góc (widehat {DA'B'})  hoặc ({180^0} - widehat {DA'B'}) .

Đặt (widehat {DA'B'} = alpha ).

Ta có:

 (eqalign{  & A'D = asqrt 3 ,A'B' = a  cr  & overrightarrow {DB'}  = overrightarrow x  - overrightarrow y  + overrightarrow z   cr  &  Rightarrow {overrightarrow {DB'} ^2} = 3{{ m{a}}^2} - {a^2} - {a^2} + {a^2} = 2{{ m{a}}^2} cr} )

Vậy (2{{ m{a}}^2} = {a^2} + 3{{ m{a}}^2} - 2{ m{a}}.asqrt 3 cos alpha  Rightarrow cos alpha  = {1 over {sqrt 3 }}).

Như thế góc giữa A’D và AB bằng α mà (cos alpha  = {1 over {sqrt 3 }})

(eqalign{  & overrightarrow {AC'}  = overrightarrow x  + overrightarrow y  + overrightarrow z   cr  &  Rightarrow {overrightarrow {AC'} ^2} = 3{a^2} + {a^2} - {a^2} - {a^2} = 2{a^2} cr} )

Dễ thấy AB’ = a.

Ta có ADC’B’ là hình bình hành mà AD = AB’, AC’ = B’D nên tứ giác ADC’B’ là hình vuông. Vậy AC’ ⊥ B’D, tức là góc giữa AC’ và B’D bằng 90°.

b)

({S_{A'B'C{ m{D}}}} = A'D.A'B'sin widehat {DA'B'} = asqrt 3 .a.{{sqrt 6 } over 3}) .

Vậy ({S_{A'B'C{ m{D}}}} = {a^2}sqrt 2 )

Đặt (widehat {ACC'} = eta )  thì (AC{'^2} = A{C^2} + CC{'^2} - 2{ m{A}}C.CC'.cos eta )

hay

(eqalign{  & 2{a^2} = 3{a^2} + {a^2} - 2asqrt 3 .a.cos eta   cr  &  Rightarrow cos eta  = {1 over {sqrt 3 }} Rightarrow sin eta  = {{sqrt 6 } over 3} cr} )

Vậy ({S_{ACC'A'}} = AC.CC'.sin eta  = asqrt 3 .a.{{sqrt 6 } over 3} = {a^2}sqrt 2 )

c) Do (overrightarrow {AC'}  = overrightarrow x  + overrightarrow y  + overrightarrow z )

Suy ra:

(eqalign{  & overrightarrow {AC'} .overrightarrow {AB}  = left( {overrightarrow x  + overrightarrow y  + overrightarrow z } ight)overrightarrow x   cr  &  = {a^2} + {{{a^2}} over 2} - {{{a^2}} over 2} = {a^2} cr} )

hay

 (eqalign{  & left| {overrightarrow {AC'} } ight|left| {overrightarrow {AB} } ight|cos gamma  = {a^2}  cr  &  Rightarrow cos gamma  = {1 over {sqrt 2 }} Rightarrow gamma  = {45^0} cr} )

Vậy góc giữa AC’ và AB bằng 45°.

(eqalign{  & overrightarrow {AC'} .overrightarrow {A{ m{D}}}  = left( {overrightarrow x  + overrightarrow y  + overrightarrow z } ight)overrightarrow y   cr  &  = {{{a^2}} over 2} + {a^2} - {{{a^2}} over 2} = {a^2} cr} )

hay

(eqalign{  & left| {overrightarrow {AC'} } ight|.left| {overrightarrow {A{ m{D}}} } ight|cos varphi  = {a^2}  cr  &  Rightarrow cos varphi  = {1 over {sqrt 2 }} Rightarrow varphi  = {45^0} cr} )

Vậy góc giữa AC’ và AD bằng 45°.

(eqalign{  & overrightarrow {AC'} .overrightarrow {AA'}  = left( {overrightarrow x  + overrightarrow y  + overrightarrow z } ight)overrightarrow z   cr  &  =  - {{{a^2}} over 2} - {{{a^2}} over 2} + {a^2} = 0 cr} )

Vậy góc giữa AC’ và AA’ bằng 90°.

Sachbaitap.com