Câu 24 trang 118 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho tứ diện ABCD có BC = AD = a, AC = BD = b, AB = CD = c. Đặt α là góc giữa BC và AD; β là góc giữa AC và BD; γ là góc giữa AB và CD. Chứng minh rằng trong ba số hạng ({a^2}cos alpha ,{b^2}cos eta ,{c^2}cos gamma ) có một số hạng bằng tổng hai số hạng còn lại.

Trả lời:

 

Ta có:

(cos left( {overrightarrow {BC} ,overrightarrow {DA} } ight) = {{2{c^2} - 2{b^2}} over {2{a^2}}} = {{{c^2} - {b^2}} over {{a^2}}}).

Vậy nếu góc giữa BC và AD bằng α thì:

(cos alpha  = {{left| {{c^2} - {b^2}} ight|} over {{a^2}}}) hay ({a^2}cos alpha  = left| {{c^2} - {b^2}} ight|).

Tương tự như trên, nếu gọi β là góc giữa AC và BD thì:

({b^2}cos eta  = left| {{a^2} - {c^2}} ight|)

và γ là góc giữa AB và CD thì

({c^2}cos gamma  = left| {{b^2} - {a^2}} ight|).

Với a, b, c lần lượt là dộ dài của BC, CA, AB, không giảm tính tổng quát có thể coi a ≥ b ≥ c. Khi đó:

(eqalign{  & {a^2}cos alpha  = {b^2} - {c^2}  cr  & {b^2}cos eta  = {a^2} - {c^2}  cr  & {c^2}cos gamma  = {a^2} - {b^2} cr} ).

Từ đó, trong trường hợp này ta có ({b^2}cos eta  = {a^2}cos alpha  + {c^2}cos gamma ).

Sachbaitap.com