Câu 10 trang 115 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng.

a) Đặt (widehat {xOy} = alpha ,widehat {yOz} = eta ,widehat {{ m{zOx}}} = gamma ) . Chứng minh rằng:

(cos alpha  + cos eta  + cos gamma  >  - {3 over 2})

b) Gọi (O{x_1},O{y_1},O{z_1})  lần lượt là các tia phân giác của các góc xOy, yOz, zOx. Chứng minh rằng nếu Ox₁ và Oy₁ vuông góc với nhau thì Oz₁ vuông góc với cả Ox₁ và Oy₁.

Trả lời:

Lấy ({E_1},{E_2},{E_3})  lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz sao cho (O{E_1} = O{E_2} = O{E_3}).

Đặt (overrightarrow {O{E_1}}  = overrightarrow {{e_1}} ,overrightarrow {O{E_2}}  = overrightarrow {{e_2}} ,overrightarrow {O{E_3}}  = overrightarrow {{e_3}} ).

a) Do ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng nên({left( {{{overrightarrow e }_1} + {{overrightarrow e }_2} + {{overrightarrow e }_3}} ight)^2} > 0),

tức là

(eqalign{  & overrightarrow e _1^2 + overrightarrow e _2^2 + overrightarrow e _3^2 cr&+ 2left( {{{overrightarrow e }_1}.{{overrightarrow e }_2} + {{overrightarrow e }_2}.{{overrightarrow e }_3} + {{overrightarrow e }_3}.overrightarrow {{e_1}} } ight) > 0  cr  &  Leftrightarrow 3{ m{O}}E_1^2 + 2OE_1^2left( {cos alpha  + cos eta  + cos gamma } ight) > 0 cr} )

Vậy (cos alpha  + coseta  + cosgamma  >  - {3 over 2})

Dễ thấy

(eqalign{  & overrightarrow {O{E_1}}  + overrightarrow {O{E_2}} //O{x_1}  cr  & overrightarrow {O{E_2}}  + overrightarrow {O{E_3}} //O{y_1}  cr  & overrightarrow {O{E_3}}  + overrightarrow {O{E_1}} //O{z_1}  cr  & O{x_1} ot O{y_1} Leftrightarrow left( {overrightarrow {O{E_1}}  + overrightarrow {O{E_2}} } ight)left( {overrightarrow {O{E_2}}  + overrightarrow {O{E_3}} } ight) = 0 cr} )

hay  ({overrightarrow {O{E_2}} ^2} + overrightarrow {O{E_1}} .overrightarrow {O{E_2}}  + overrightarrow {O{E_1}} .overrightarrow {O{E_3}}  + overrightarrow {O{E_2}} .overrightarrow {O{E_3}}  = 0)

Ta có:

(eqalign{  & left( {overrightarrow {O{E_1}}  + overrightarrow {O{E_2}} } ight)left( {overrightarrow {O{E_3}}  + overrightarrow {O{E_1}} } ight)  cr  &  = {overrightarrow {O{E_1}} ^2} + overrightarrow {O{E_1}} .overrightarrow {O{E_2}}  + overrightarrow {O{E_2}} .overrightarrow {O{E_3}}  + overrightarrow {O{E_1}} .overrightarrow {O{E_3}} cr} )

  (= 0)

Vậy (O{x_1} ot O{z_1})

Tương tự, ta cũng có (O{y_1} ot O{z_1})

Sachbaitap.com