Câu 25 trang 119 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Giải bài tập

Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Lấy các điểm I, J, K lần lượt thuộc các đường thẳng BC, AC, AD sao cho (overrightarrow {IB}  = koverrightarrow {IC} ,overrightarrow {J{ m{A}}}  = koverrightarrow {JC} ,overrightarrow {K{ m{A}}}  = koverrightarrow {K{ m{D}}} ) trong đó k là số khác 0 cho trước. Chứng minh rằng:

a) MN ⊥ IJ và MN ⊥IK

b) AB ⊥ CD

Trả lời

 

a) Từ

(eqalign{  & overrightarrow {IB}  = koverrightarrow {IC}   cr  & overrightarrow {J{ m{A}}}  = koverrightarrow {JC}  cr} )

ta có IJ // AB.

Tương tự, ta có IK // CD.

Do các cạnh của tứ diện ABCD bằng nhau và N là trung điểm của CD nên NA = NB.

Mặt khác MA = MB do đó MN ⊥ AB, suy ra MN ⊥ IJ.

Tương tự như trên, ta có MN ⊥ CD và IK // CD nên MN ⊥ JK.

b) Ta có (overrightarrow {AB}  = overrightarrow {AN}  + overrightarrow {NB} ).

Từ giả thiết, ta có:

(AN ot C{ m{D}}) tức là (overrightarrow {AN} .overrightarrow {C{ m{D}}}  = 0);

(BN ot C{ m{D}}) tức là (overrightarrow {BN} .overrightarrow {C{ m{D}}}  = 0).

Vậy (overrightarrow {AB} .overrightarrow {C{ m{D}}}  = left( {overrightarrow {AN}  + overrightarrow {NB} } ight).overrightarrow {C{ m{D}}}  = 0)  tức là (AB ot C{ m{D}}) .

Sachbaitap.com