Trường hợp các nút nội suy cách đều

Hiệu hữu hạn

Giả sử hàm số y = f(x) được cho dưới dạng bảng:

Trong đó y_i = f(x_i), i = 0,1,2,… và các nút x_i cách đều nghĩa là x_i = x₀ +ih

(h là hằng số >0,I = 0,1,2,…)

Khi đó: ∆y_i = y_i+1 - y_i gọi là hiệu hữu hạn tiến cấp một cuẩ hàm số y= f(x)

tại điểm x_i .

Tổng quát: ∆ⁿy_i = ∆(∆y_i) =∆^n-1y_i+1 - ∆^n-1y_i gọi là hiệu hữu hạn tiến cấp n

của hàm số f(x) tại điểm x_i .

Bây giờ ta định nghĩa các hiệu hữu hạn lùi: y_i = y_i - y_i-1 gọi là hiệu hữu hạn lùi cấp một của hàm số f(x) tại điểm x_i ;

Tổng quát: ⁿy_i = (y_i) =^n-1y_i+1 - ^n-1y_i gọi là hiệu hữu hạn lùi cấp n

của hàm số f(x) tại điểm x_i.

Dựa vào định nghĩa tỷ hiệu, hiệu hữu hạn tiến và lùi dễ thiết lập được những công thức liên hệ sau:

f[x₀,x₁] = (∆y₀)/h = (∆y₁)/h

f[x₀, x₁, …,x_n] = (∆ⁿy₀)/(n!hⁿ) = (∆ⁿy_n)/(n!hⁿ)

Đa thức nội suy Newton: trường hợp các nút nội suy cách đều

Vì các nút nội suy cách đều chỉ là trường hợp đặc biệt của các nút nội suy không cách đều, do đó để xây dựng đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x₀ của hàm số f(x) trong trường hợp các nút nội suy cách đều:

x_i = x₀ + hi, ta chỉ cần thay trong (1.5):

Pn (x) ) = y 0 + (x – x 0 )f[x 0 ,x 1 ] + (x - x 0 ) ( x – x 1 ) f[x 0 ,x 1 ,x 2 ] + + (x - x 0 ) ( x – x 1 )… ( x – x n-1 ) f[x 0 ,x 1 ,…,x n ]

các tỷ hiệu bằng các hiệu hữu hạn tiến tương ứng của (1.7), ta có

Pn (x) ) = y₀ + (x – x₀) (∆y₀)/h + (x - x₀) ( x – x₁ ) (∆²y₀)/(2!h²) +

+ (x - x₀) ( x – x₁ )… ( x – x_n-1 ) (∆ⁿy₀)/(n!hⁿ)

Pn (x) = Pn (x 0 +ht) = y 0 + t ∆y 0 + (t(t-1) (∆ 2 y 0 ))/2! + …+

+(t(t-1)(t-2)…(t-n+1) (∆ n y 0 ))/n! (1.8)

Đó là đa thức nọi suy Newton tiến xuất phát từ nút x₀ của hàm số f(x) trong trường hợp các nút nội suy cách đều.

Hoàn toàn tương tự ta có công thức của đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ nút x_n của hàm số f(x) trong trường hợp các nút nội suy cách đều:

Pn (x) ) = Pn (x n +ht) = y 0 + t▼y 0 + (t(t+1) (▼ 2 y 0 ))/2! + …+

+(t(t+1)(t+2)…(t+n-1) (▼ n y n ))/n! (1.9)

Sai số của đa thức nội suy Newton trong trường hợp các nút nội suy cách đều

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp n+1 trên [a,b]

Chứa tất cả các nút nội suy cách đều x_i, x_i = x₀ + hi

Đặt x = x₀ +ht, nghĩa là t = (x - x₀)/h; thay vào hàm sô sau:

Rn (x) = (fⁿ⁺¹(c)П_n+1(x))/(n+1)!

Ta nhận được công thức về sai số của đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút x₀ của hàm số f(x) trong trường hợp các nút nội suy cách đều:

Rn (x) = (t(t-1)…(t-n)f n+1 (c) h n+1 )/(n+1)! (1.10)

Trong đó c là giá trị trung gian giữa các nút nội suy x_0, x_{1, …,} x_n và điểm x.

Tương tự, đặt x = x_n+ht, nghĩa là t = (x – x_n)/h, trong hàm số:

Rn (x) = (fⁿ⁺¹(c)П_n+1(x))/(n+1)!

ta nhận được công thức về sai số của đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ nút x₀ của hàm số f(x) ttrong trường hợp các nút nội suy cách đều;

Rn (x) = (t(t+1)…(t+n)f n+1 (c) h n+1 )/(n+1)! (1.11)

Trong đó c là giá trị trung gian giữa các nút nội suy x_0, x_{1, …,} x_n và điểm x.