Số siêu việt
Trong toán học, số siêu việt là số (thực hoặc phức) nhưng lại không là nghiệm của phương trình đại số nào. Ví dụ: số π và e Chúng ta chỉ mới biết một số rất ít các số siêu việt và việc chứng minh một số là số siêu việt là bài toán khó. ...
Trong toán học, số siêu việt là số (thực hoặc phức) nhưng lại không là nghiệm của phương trình đại số nào.
Ví dụ: số π và e
Chúng ta chỉ mới biết một số rất ít các số siêu việt và việc chứng minh một số là số siêu việt là bài toán khó.
Năm 1851, Liouville đã chứng minh sự tồn tại của số siêu việt. Năm 1874, Cantor chỉ ra một điều chắc chắn rằng "gần như tất cả" các số là số siêu việt bằng cách chứng minh rằng, tập hợp các số thực là không đếm được trong khi ông đã chứng minh được rằng các số đại số là đếm được.
Xác suất
Cho đoạn thẳng đơn vị [0;1]. Chọn ngẫu nhiên x ∈ [0;1] thì xác suất để x là số đại số ít hơn rất nhiều so với xác suất x là số siêu việt
1. Tập hợp số siêu việt là tập hợp vô hạn không đếm được. Chứng minh: Vì các đa thức với hệ số nguyên là đếm được , và mỗi đa thức có hữu hạn nghiệm nên các số đại số cũng là đếm được. Do số các số thực là không đếm được => các số siêu việt là không đếm được.
2. là số vô tỉ: Nếu nó là số hữu tỷ dạng b/a thì nó là nghiệm của phương trình đại số a.x =b, do đó là số đại số. Điều ngược lại không đúng: có nhiều số vô tỷ nhưng lại không là số siêu việt, chẳng hạn căn bậc hai của 2 là số vô tỷ, cũng là số đại số vì nó là nghiệm của phương trình đại số x2 − 2 = 0
3. Trường số siêu việt là trù mật
4. Trường số siêu việt có lực lượng continum (theo BKTTVN)
* Số thực
* Số đại số
* Số vô tỉ
* Số hữu tỉ
* Số nguyên
* Số tự nhiên
* Số nguyên tố
* Định lý cơ bản của đại số
* Hình học phức
* Mặt cầu Riemann (mặt phẳng phức mở rộng)
* Giải tích phức
* Định lý Gelfond-Schneider
* Đẳng thức Euler
* Hàm lượng giác
* Số siêu phức
* Số phức
