phương pháp số phức

sơ lược về số phức

một số phức được viết dưới dạng chữ nhật

các phép toán với số phức

- công thức euler

e^±j0=cos0±j sin0 (6.6)

với 0=π/2⇒ e^j0=e^jπ/2=j

từ công thức euler, ta cũng suy ra được:

cos0=re[e^j0]= ejθ+e−jθ2 size 12{ { {e rSup { size 8{jθ} } +e rSup { size 8{ - jθ} } } over {2} } } {} (6.7)

và sin0=im[e^j0]= ejθ−e−jθ2j size 12{ { {e rSup { size 8{jθ} } - e rSup { size 8{ - jθ} } } over {"2j"} } } {} (6.8)

- số phức liên hợp z* là số phức liên hợp của z:

z=x+jy ⇒ z*=x-jy (6.9)

- phép cộng và trừ: dùng dạng chữ nhật:

cho z₁=x₁+jy₁ và z₂=x₂+jy₂

z= z₁± z₂= (x₁±x₂) + j(y₁±y₂) (6.10)

- phép nhân và chia: dùng dạng cực:

cho z₁=z₁ ejθ1 size 12{e rSup { size 8{jθ rSub { size 6{1} } } } } {} và z₂=z₂ ejθ2 size 12{e rSup { size 8{jθ rSub { size 6{2} } } } } {}

z= z_1.. z₂=z₁.z₂ ej(θ1+θ2) size 12{e rSup { size 8{j ( θ rSub { size 6{1} } +θ rSub { size 6{2} } ) } } } {} (6.11)

z= ∣Z1∣∣Z2∣ej(θ1−θ2) size 12{ { { lline Z rSub { size 8{1} } rline } over { lline Z rSub { size 8{2} } rline } } e rSup { size 8{j ( θ rSub { size 6{1} } - θ rSub { size 6{2} } ) } } } {} (6.12)

→ khi nhân số phức với j =1<90^o ta được một số phức có suất không đổi nhưng đối số tăng 90^o tương ứng với vectơ biểu diễn quay một góc +90^o

→ khi chia số phức với j=1<90^o ta được một số phức có suất không đổi nhưng đối số giảm 90^o tương ứng với vectơ biểu diễn quay một góc -90^o

dùng số phức để giải mạch

ap dụng số phức vào thí dụ 6.1, giả sử nguồn kích thích là:

v₁(t)=ve^jwt (1)

đáp ứng ép i₁(t) xác định bởi phương trình:

(2)

hàm số mạch tương ứng:

(3)

đáp ứng ép:

(4)

hay

phần thực:

so sánh với kết quả trước đây: re[i₁(t)]=i(t)

thật vậy, lấy phần thực của phương trình (2)

thay re[i₁(t)]=i(t) và re[v₁(t)]= vcoswt

như vậy:

re[ i 1 (t)] chính là đáp ứng của mạch với kích thích là re[ v 1 (t)]=re[ ve j w t ]=vcos w t

thí dụ 6.2

xác định v(t) của mạch (h 6.3), cho nguồn kích thích i(t)=isin(wt+)

(h 6.3)

viết kcl cho mạch

lấy đạo hàm 2 vế:

tìm đáp ứng v₁ đối với kích thích wie^j(wt+)=wie^je^jwt

hàm số mạch